条件概率、全概率公式

条件概率

定义：
设A,B为两个事件，，且P(B)>0，则称P(A|B)=$\frac{P(AB)}{P(B)}$为事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，即$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

条件概率有如下性质：
1.任意A，P(AB)≥0
2.P(Ω|B)=1
3.$A_1,A_2,...A_n$两两互斥，则$P(\stackrel{\infty }{\underset{i=1}{\cup }}{A}_i)=\stackrel{\infty }{\sum _{i=1}}P(A_i)$
4.P(∅|B)=0
5.P($\stackrel{-}{A}$|B)=1-P(A|B)

两种计算方法：
1.定义法
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
可以通过求的P(AB)和P(B)来求得A在B条件下的概率

2.样本空间缩减法
列出A和B的样本空间，并求的A和B中共同的样本C，并计算C在B中占的比例。

注：
一般情况下，P(A|B)≥P(AB)，因为条件概率有约束条件，分母可能比1要小。

乘法定理：

设P(B)>0，有P(AB)=P(A|B)P(B)

可以在此进行推广：

三个事件 P(AB)>0 P(ABC)=P(A|BC)P(BC)=P(A|BC)P(B|C)P(C）
可以推广到n个事件：
若
P($A_1,A_2,...A_n$)>0
则有
P($A_1,A_2,...A_n$)=$P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n|A_{n-1}...A_1)$

全概率公式和贝叶斯公式

划分：
定义：
设Ω，$A_1,A_2,...A_n$是Ω中的一组事件，若满足：
1.$A_i,A_j$两两互质
2.$\stackrel{\infty }{\underset{i=1}{\cup }}{A}_i$=Ω
则称$A_1,A_2,...A_n$是Ω的一组划分。

全概率公式（全局操作）（化整为零，逐个击破）（由因到果）

设B是Ω中一个事件，$A_1,A_2,...A_n$是一个划分，且P($A_i$)>0(i=1,2,…n)，则有
全概率公式：$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)=\stackrel{\infty }{\sum _{i=1}}P(A_i)P(B|A_i)$