【ACWing】1170. 排队布局

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1172/

当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。农夫约翰有$N$头奶牛，编号从$1$到$N$，沿一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数$L$。另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数$D$。给出$M_L$条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出$M_D$条关于两头奶牛间存有反感的描述。你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出$-1$；如果$1$号奶牛和$N$号奶牛间的距离可以任意大，输出$-2$；否则，计算出在满足所有要求的情况下，$1$号奶牛和$N$号奶牛间可能的最大距离。

输入格式：
第一行包含三个整数$N,M_L,M_D$。接下来$M_L$行，每行包含三个正整数$A,B,L$，表示奶牛$A$和奶牛$B$至多相隔$L$的距离。再接下来$M_D$行，每行包含三个正整数$A,B,D$，表示奶牛$A$和奶牛$B$至少相隔$D$的距离。

输出格式：
输出一个整数，如果不存在满足要求的方案，输出$-1$；如果$1$号奶牛和$N$号奶牛间的距离可以任意大，输出$-2$；否则，输出在满足所有要求的情况下，$1$号奶牛和$N$号奶牛间可能的最大距离。

数据范围：
$2\le N\le 1000$
$1\le M_L,M_D\le 10^4$
$1\le L,D\le 10^6$

思路很容易看出来是差分约束。首先要求两个奶牛的最大距离，所以要建图然后用最短路来做。不存在满足条件的排法，说明不等式之间存在矛盾，即存在负环，输出$-1$；如果不存在负环，则可以规定$1$号奶牛位于坐标$0$处，这样算出$N$号奶牛的最短路即为所求。如果最短路长为正无穷，则说明从$1$号没有到达$N$的路径，换言之这两个变量没有不等式约束关系，说明$N$号奶牛可以距离任意远，则输出$-2$。代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1010, M = 21010, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m1, m2;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int q[N], cnt[N];
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// sz是一开始要进队多少个数。如果是判断负环的话，则需要进队n个数，否则只需将1进队
bool spfa(int sz) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(st, 0, sizeof st);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= sz; i++) {
        dist[i] = 0;
        q[tt++] = i;
        st[i] = true;
    }

    while (hh != tt) {
        int t = q[hh++];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] > dist[t] + w[i]) {
                dist[v] = dist[t] + w[i];
                cnt[v] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[v] >= n) return false;

                if (!st[v]) {
                    q[tt++] = v;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[v] = true;
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m1, &m2);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i < n; i++) add(i + 1, i, 0);
    while (m1--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        if (b < a) swap(a, b);
        add(a, b, c);
    }
    while (m2--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        if (b < a) swap(a, b);
        add(b, a, -c);
    }
    
    // 先判断有没有负环
    if (!spfa(n)) puts("-1");
    // 接着计算以1为源点的最短路长度，如果到不了n则说明不存在约数关系
    else if (spfa(1) && dist[n] == INF) puts("-2");
    else printf("%d\n", dist[n]); 

    return 0;
}

时间复杂度$O(mn)$，空间$O(n)$，$n$和$m$分别是图的点数和边数。