嵌入式开发--无刷电机学习2--克拉克变换

克拉克变换

首先说明，有很多方法，在数学上是等价的，比如3+3+3+3=3*4=12。下面说的事情也是。

为了更简明的控制，克拉克女士提出电机控制简化的方法，即建立一个坐标系，横轴是α 纵轴是β，并将三相电流在这个坐标轴上投影，用两个正交分布的投影代替。并描述二者之间的关系，从而得出任意时刻的iα和iβ。

其物理意义是用两个正交分布的线圈（分别放在α轴和β轴上），去模拟三相电机120度分布的三个线圈。这二者在数学上是等价的。如此可以简化控制流程。
在实际驱动电机的时候，只需要求一个逆解即可驱动电机。

投影方式如下，将A相的磁场方向与 iα重合，并画出B相和C相的电流矢量如下图：

绿色线段是ib和ic在iα轴上的投影，蓝色线段是ib和ic在iβ轴上的投影。
对于Iα轴来说，最终的值就是Iα = ia - bα - cα
对于Iβ轴来说，最终的值就是Iβ = bβ - cβ (aβ没有，是因为此时ia在iβ轴上的投影是0）

当不考虑方向，只考虑长度时，
bα = ib * sin30 = 0.5 * ib
cα = ic * sin30 = 0.5 * ic
bβ = ib * sin60 = (√3)/2 * ib
cβ = ic * sin60 = (√3)/2 * ic

代入到前式，得克拉克变换公式
Iα = ia - 0.5ib - 0.5ic
Iβ = (√3)/2 * ib - (√3)/2 * ic

写成矩阵就是

基尔霍夫定律

	假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零
	换个说法，即任意时刻，流入的电流等于流出的电流，这两个值大小相等，方向相反。

设A相电流为电流流入ia=1A，则根据基尔霍夫定律，B相和C相流电流为 ib = -0.5 和 ic = -0.5 ，代入公式，得
Iα = 1 - 0.5*(-0.5）- 0.5*(-0.5) = 1.5 = 1.5
Iβ = 0
显然Iα与ia不是相等的，为了后续计算更加方便，我们将Iα与ia对应起来，即给ia乘以一个系数: 2/3， 这样这两个值就相等了。
Iα = ia
Iβ = ((√3)/2 * ib - (√3)/2 * ic) * 2 / 3 = （ib - ic) / √3

写成矩阵就是

这个也叫克拉克变换的等幅形式。
由于Iα和Iβ，与Uα和Uβ是一回事，也就是说Uα = 2/3 * U，这个在后面的SVPWM中要用到。

上面的公式还可以进一步化简，由于ia + ib + ic = 0，则ic = - ia - ib，将其代入Iβ = （ib - ic) / √3
整理得
Iα = ia
Iβ = （2*ib + ia) / √3
如此可以消去C相的电流，只用AB两相的电流即可控制电机，对于电路设计来说，不需要对C相进行电流采样，也就意味着降低了成本。

克拉克等幅值逆变换

将公式中的第一行代入第2行，并解出ib，ic，即是克拉克逆变换
ib = (√3Iβ - Iα) / 2
由于ia + ib + ic = 0，则
ic = (- Iα - √3Iβ) / 2

最后合并列出
ia = Iα
ib = (√3 * Iβ - Iα) / 2
ic = (- Iα - √3 * Iβ) / 2

ia,ib,ic即是我们最后控制电机时所驱动的电流，那么我们只需要知道Iα和Iβ即可控制电机。这两个量描述的其实就是定子产生的磁场的矢量，因为磁场等于电流乘以电感，而电机的相电感又是可以预先知道的值，所以控制了相电流，也就是控制了定子产生的磁场。