算法学习之经典问题（斐波那契数列问题）

一、基础问题

1.问题描述

以下数列 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... 被称为斐波纳契数列。

这个数列从第 3项开始，每一项都等于前两项之和。

输入一个整数 N，请你输出这个序列的第N项。

2.解题方法及代码

（1）递归

#include
#include
#include

using namespace std;

int n;

int f(int n){
    if(n == 1) return 0;
    
    if(n == 2) return 1;
    
    return f(n-1) + f(n-2);
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    printf("%d", f(n));
    return 0;
}

（2）递推

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 50;

int n;

int a[N];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    a[1] = 0;
    a[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; ++ i){
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
    }
    printf("%d", a[n]);
    return 0;
}

二、进阶问题

1.问题描述

以下数列 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... 被称为斐波纳契数列。

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

输入一个整数N，请你输出这个序列的前N项。

输入格式

一个整数 N。

输出格式

在一行中输出斐波那契数列的前N项，数字之间用空格隔开。

数据范围

0

2.分析

        进阶问题与基础问题相比，最大的区别是计算次数变多了。对于递归方法来说，就是调用递归函数的次数大大增加，当n较大时，会导致超时。

        观察易得，若利用基础的递归方法来解会有很多重复计算，可以在计算过程中用数组进行记录（记忆化搜索）。

3.解题方法及代码

（1）记忆化搜索（基础递归解法进阶）

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 50;

int n;

int a[N];

int f(int n){
    
   if(n == 1) a[1] = 0;
   
   else if(n == 2) a[2] = 1;
    
   else if(!a[n]) a[n] = f(n-1) + f(n-2);
   
   return a[n];
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        printf("%d ", f(i));
    }
    return 0;
}

（2）递推

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 50;

int a[N];

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    a[1] = 0;
    a[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; ++ i){
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

（3）不需开辟数组空间的递推解法

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 50;

int n;

int a[N];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    int a = 0, b = 1, c;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        printf("%d ", a);
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return 0;
}