立体几何中的折纸类问题：2019年理数全国卷C题19

折纸：2019年理数全国卷C题19（12分）

图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.

（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;

（2）求图2 中的二面角 的大小.

2019年理科数学全国卷C

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【解答问题1】

∵ 是矩形，∴ ,

∵ 是菱形，∴

∴

∴ 四点共面.

∵ 是矩形，∴ ,

∵ 是直角三角形，∴

又 ∵ ,

∴ 平面

又 ∴ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

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【解答问题2】

如图所示，记 中点为 .

是菱形，且 所以， 是正三角形，.

因为 平面 , 所以 , 是直角三角形，根据勾股定理求得：

在 中，根据勾股定理可求得：,

所以，, 是等腰三角形, 且

因为 , 所以 是二面角 的平面角；

因为 是直角三角形，所以

所以，二面角 等于 .

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【相关考题】

2019年全国卷三的立体几何大题在文科卷和理科卷中使用了相同的模型，而且第一问完全相同，第二问不同。可以称为「龙凤题」。详见：

2019年文数全国卷C题19

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