格林公式求圆并的面积及重心
格林公式求圆并的面积及重心
- 格林公式
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- 格林公式对面积及重心的推导
- 圆并的面积与重心计算
- [SPOJ CIRU圆并的面积](https://www.spoj.com/problems/CIRU/)
- 圆并的重心
格林公式
首先写下格林公式，省略了公式成立的条件。
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ P d x + Q d y \iint_D\big(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\big)dxdy=\oint{Pdx+Qdy} ∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮Pdx+Qdy
其中 D D D是一个面， L L L是其边缘曲线。借助格林公式可以将面积分转换为一维的路径积分。 P P P和 Q Q Q是关于 x , y x,y x,y的二元函数。
格林公式对面积及重心的推导
考虑面积公式: s = ∬ D d x d y s=\iint_D{dxdy} s=∬Ddxdy，套用格林公式，令 Q = x , P = − y Q=x,P=-y Q=x,P=−y，则有
s = ∬ D d x d y = 1 2 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = 1 2 ∮ x d y − y d x s=\iint_D{dxdy}=\frac{1}{2}\iint_D\big(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\big)dxdy=\frac{1}{2}\oint{xdy-ydx} s=∬Ddxdy=21∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=21∮xdy−ydx
考虑重心坐标的公式，分别有
x g = ∬ D x d x d y ∬ D d x d y , y g = ∬ D y d x d y ∬ D d x d y x_g=\frac{\iint_D{xdxdy}}{\iint_Ddxdy}, y_g=\frac{\iint_D{ydxdy}}{\iint_Ddxdy} xg=∬Ddxdy∬Dxdxdy,yg=∬Ddxdy∬Dydxdy
为了方便起见，将分子分别记作 z x , z y z_x,z_y zx,zy。首先考虑 z x z_x zx，令 Q = 1 2 x 2 , P = 0 Q=\frac{1}{2}x^2,P=0 Q=21x2,P=0，则
z x = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∬ D x d x d y = ∮ C 1 2 x 2 d y z_x=\iint_D\big(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\big)dxdy = \iint_D{xdxdy} = \oint_C{\frac{1}{2}x^2}dy zx=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∬Dxdxdy=∮C21x2dy
同理可得：
z y = − 1 2 ∮ C y 2 d x z_y=-{\frac{1}{2}}\oint_C{y^2dx} zy=−21∮Cy2dx
圆并的面积与重心计算
显然圆并的边界均是圆弧，因此可以描述为：
{ x = x 0 + r c o s θ y = y 0 + r s i n θ α ≤ θ ≤ β \left\{ \begin{aligned} x & = x_0+rcos\theta \\ y & = y_0 + rsin\theta \end{aligned} \right. \, {\rm}{\rm} \alpha\le\theta\le\beta {xy=x0+rcosθ=y0+rsinθα≤θ≤β
分别代入上述公式，可以求得：
s = ∮ C x d y − y d x = ∮ C ( x 0 + r c o s θ ) d ( y 0 + r s i n θ ) − ( y 0 + r s i n θ ) d ( x 0 + r c o s θ ) = ∮ C r x 0 d s i n θ + r 2 c o s 2 θ d θ − r y 0 d c o s θ + r 2 s i n 2 θ d θ = r ( x 0 s i n θ − y 0 c o s θ + r θ ) ∣ α β s=\oint_C{xdy-ydx}=\oint_C{(x_0+rcos\theta)d(y_0+rsin\theta)}-(y_0+rsin\theta)d(x_0+rcos\theta) \\ = \oint_C{rx_0dsin\theta+r^2cos^2{\theta}d\theta-ry_0dcos\theta+r^2sin^2{\theta}d\theta} \\ = r(x_0sin\theta-y_0cos\theta+r\theta)|_\alpha^\beta s=∮Cxdy−ydx=∮C(x0+rcosθ)d(y0+rsinθ)−(y0+rsinθ)d(x0+rcosθ)=∮Crx0dsinθ+r2cos2θdθ−ry0dcosθ+r2sin2θdθ=r(x0sinθ−y0cosθ+rθ)∣αβ
z x = ∮ C 1 2 x 2 d y = 1 2 ∮ C ( x 0 2 + 2 r x 0 c o s θ + r 2 c o s 2 θ ) d ( y 0 + r s i n θ ) = r 2 ∮ C x 0 2 d s i n θ + 2 r x 0 c o s 2 θ d θ + r 2 c o s 3 θ d θ = r 2 ( ( x 0 2 + r 2 ) s i n θ + r x 0 θ + r x 0 s i n 2 θ 2 − r 2 s i n 3 θ 3 ) ∣ α β z_x = \oint_C{\frac{1}{2}x^2}dy = \frac{1}{2}\oint_C{(x_0^2+2rx_0cos\theta+r^2cos^2\theta)d(y_0 + rsin\theta)} \\ = \frac{r}{2}\oint_C{x_0^2dsin\theta+2rx_0cos^2{\theta}d\theta+r^2cos^3{\theta}d\theta} \\ =\frac{r}{2}\big((x_0^2+r^2)sin\theta+rx_0\theta+\frac{rx_0sin2{\theta}}{2}-\frac{r^2sin^3\theta}{3}\big)|_\alpha^\beta zx=∮C21x2dy=21∮C(x02+2rx0cosθ+r2cos2θ)d(y0+rsinθ)=2r∮Cx02dsinθ+2rx0cos2θdθ+r2cos3θdθ=2r((x02+r2)sinθ+rx0θ+2rx0sin2θ−3r2sin3θ)∣αβ
z y = − 1 2 ∮ C y 2 d x = − 1 2 ∮ C ( y 0 2 + 2 r y 0 s i n θ + r 2 s i n 2 θ ) d ( r c o s θ ) = − r 2 ∮ C y 0 2 d c o s θ + r y 0 2 d s i n 2 θ − r y 0 d θ + r 2 d c o s θ − r 2 3 d c o s 3 θ = r 2 ( r 2 c o s 3 θ 3 + r y 0 θ − ( r 2 + y 0 2 ) c o s θ − r y 0 s i n 2 θ 2 ) ∣ α β z_y=-{\frac{1}{2}}\oint_C{y^2dx}=-{\frac{1}{2}}\oint_C{(y_0^2+2ry_0sin\theta+r^2sin^2\theta)d(rcos\theta)} \\ = -{\frac{r}{2}}\oint_C{y_0^2dcos\theta+\frac{ry_0}{2}dsin2\theta-ry_0d\theta+r^2dcos\theta-\frac{r^2}{3}dcos^3\theta} \\ =\frac{r}{2}\big(\frac{r^2cos^3\theta}{3}+ry_0\theta-(r^2+y_0^2)cos\theta-\frac{ry_0sin2\theta}{2}\big)|_\alpha^\beta zy=−21∮Cy2dx=−21∮C(y02+2ry0sinθ+r2sin2θ)d(rcosθ)=−2r∮Cy02dcosθ+2ry0dsin2θ−ry0dθ+r2dcosθ−3r2dcos3θ=2r(3r2cos3θ+ry0θ−(r2+y02)cosθ−2ry0sin2θ)∣αβ
所以只需求出圆并的每一段边界圆弧，计算即可。
SPOJ CIRU圆并的面积
最多有1000个圆，求并的面积。被覆盖的圆要剔除，不能参与运算。退化的圆也可以剃掉。简单而言就是对每一个圆，求其他圆覆盖该圆的圆弧角度区间 [ α , β ] [\alpha, \beta] [α,β]，最多有 N − 1 N-1 N−1段区间，然后对这些区间排序，对不在这些区间范围内的区间引用上述公式进行计算即可。时间复杂度为 O ( N 2 l o g N ) O(N^2logN) O(N2logN)。
#include 圆并的重心
Battle Mage，题目大意是：给定一个凸多边形形状的薄木板，上面有很多圆洞，圆洞可能会重叠。薄木板初始位于竖直平面内，给定每个点的坐标，给定圆洞的圆心和半径。现在将薄木板的第V个点固定住，然后让其在重力作用下达到平衡位置，问此时凸多边形的N个顶点的坐标。只需求出重心坐标，再做一个坐标变换即可。首先可以求出完整凸多边形的重心，再可以求出圆并的重心，最后可以求出薄木板的重心坐标。
#include