折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19

折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19（12分）

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，，点 分别在 上，， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置，

（I）证明∶平面 ;

（Ⅱ）求二面角 的正弦值.

2016年理数全国卷B

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【解答问题I】

∵ 菱形的对角线相互垂直平分，而在菱形 中，，

∴ ,

又 ∵ ,

∴ , ,

∴ 是等腰三角形，, ,

又∵ , ∴ .

∵

∴

∴ .

∵ ,

∴ 平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以点 为原点建立直角坐标系，并以 为 轴，以 方向为 轴正方向；

相关各点坐标如下：

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【解答问题Ⅱ：算法一】

令 ,

∴ 二面角 的正弦值

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【解答问题Ⅱ：算法二】

令 为平面 的法向量，则

∴

令 为平面 的法向量，则

∴

∴ 二面角 的正弦值

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【提炼与提高】

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直。在推导过程中用到了菱形的性质和勾股定理的逆定理。

本题第2问，适合用向量方法解决。我们用外积法和内积法分别计算，相互校验，避免失误。

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