2024年美赛D题：五大湖水问题 Great Lakes Water Problem 思路模型代码解析
2024年美赛D题：五大湖水问题 Great Lakes Water Problem 思路模型代码解析
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问题翻译
美国和加拿大的五大湖是世界上最大的淡水湖群。这五个湖泊及其连接的水道构成了一个庞大的排水盆地，在这两个国家包含着许多大型城市，具有多样的气候和局部的天气条件。
这些湖泊的水被用于许多目的（钓鱼、娱乐、发电、饮用水、航运、动植物栖息地、建筑、灌溉等）。因此，许多利益相关者都对流入和流出湖泊的水的管理感兴趣。特别是，如果湖泊的排水量太少或蒸发过多，就会发生洪水，沿岸的住宅和企业就会受到影响；如果排水量过多，大型船只无法通过水道运输货物，从而影响当地经济。主要问题是调节水位，使所有利益相关者都能受益。
每个湖泊的水位由流入和流出湖泊的水量决定。这些水位是温度、风、潮汐、降水、蒸发、湖底地形（水深）、河流流量和径流、水库政策、季节循环以及长期气候变化等复杂相互作用的结果。在五大湖系统中，有两种主要的水流控制机制——苏圣玛丽斯奥洛克的补偿工程（三个水力发电站、五个航运船闸和一座位于急流头的闸门大坝）以及康沃尔的摩西-桑德斯大坝。
尽管这两个控制坝、许多水道和运河以及排水盆地水库可以由人类控制，但降雨量、蒸发、侵蚀、冰堵等水流现象的速率超出了人类的操纵范围。当地政府的政策可能产生意想不到的不同影响，季节性和环境变化也会影响水盆地。这些变化反过来又影响了该地区的生态系统，进而影响了湖泊及其周围发现的植物和动物以及生活在水盆地的居民的健康。尽管五大湖看起来具有规律的年度模式，但水位偏离正常值两到三英尺可能会极大地影响某些利益相关者。
这个动态网络流问题是“恶性”的——由于相互依赖、复杂的要求和固有的不确定性，解决起来异常具有挑战性。对于湖泊的问题，我们面临着不断变化的动态和利益相关者之间的利益冲突。有关更多信息，请参阅问题D的附录。
国际联合委员会（IJC）请求贵公司国际网络控制建模者（ICM）的支持，以协助管理和模拟控制机制（如附件中所示的两个大坝——补偿工程和摩西-桑德斯大坝），这些机制直接影响了五大湖流域网络中的水位。您的ICM主管已经指示您的团队负责开发该模型和实施该模型的管理计划。您的主管指出，有几个考虑因素可能有助于实现这一目标，首先是建立五大湖的网络模型，并连接从苏必利尔湖到大西洋的河流流量。您的主管还提到了一些其他可选的考虑因素或问题：
1. 确定五大湖在任何时候的最佳水位，考虑到各利益相关者的愿望（每个利益相关者的成本和收益可能不同）。
2. 建立算法，根据湖泊的流入和流出数据，维持五大湖的最佳水位。
3. 了解您的控制算法对两个控制大坝的排水敏感性。鉴于2017年的数据，您的新控制是否会导致对于当年各利益相关者的水位水平满意或优于实际记录？
4. 您的算法对环境条件变化（如降水、冬季积雪、冰堵）的敏感程度如何？
5. 仅将您的广泛分析重点放在影响安大略湖的利益相关者和因素上，因为对于该湖的水位管理最近引起了更多的关注。
国际联合委员会（IJC）也对您用于建立模型和确定参数的历史数据感兴趣，因为他们很想比较您的管理和控制策略与以前模型的比较。请提供一份一页的备忘录给IJC领导，介绍您的模型的关键特点，以说服他们选择您的模型。
思路解析
问题一：确定最佳水位
- 理解利益相关者需求： 首先，我们需要深入了解各个利益相关者（如沿岸居民、船舶运输公司、生态保护组织等）对五大湖水位的期望和需求。这可能需要通过调查、专家意见和相关文献来获取。
- 量化利益相关者的需求： 将各利益相关者的需求量化为目标函数的组成部分。例如，沿岸居民可能希望保持水位稳定以防止洪水，船舶运输公司可能更关注水位对航运的影响，生态保护组织可能关注水位对生态系统的影响。
- 建立优化模型： 将问题建模为一个多目标优化问题，目标是在满足各利益相关者需求的同时，最大化总收益或最小化总成本。
- 考虑约束条件： 考虑到水位的物理限制、法律法规等约束条件。
- 选择合适的优化算法： 根据问题的特点选择合适的多目标优化算法进行求解，如NSGA-II、NSGA-III、MOEA/D等。
- 验证模型效果： 使用历史数据验证模型的效果，比较模型预测的水位与实际水位的差异，评估模型的准确性和可靠性。
解题模型：
- 目标函数：
- 定义各利益相关者的需求函数，如稳定性函数、航运函数、生态保护函数等。
- 将这些需求函数组合成一个多目标优化问题的目标函数，以平衡各利益相关者的需求。
- 约束条件：
- 物理约束条件：考虑五大湖的物理限制，如最大水位和最小水位。
- 法律法规约束：考虑国际法律法规对水位管理的限制。
- 优化算法：
- 选择一个适合多目标优化的算法，如NSGA-II算法。
- 使用选定的算法对目标函数进行优化，找到最优的水位组合。
- 验证模型效果：
- 使用历史数据验证模型的准确性和可靠性。
- 比较模型预测的水位与实际水位的差异，评估模型的预测能力。
参考代码：
from pymoo.factory import get_problem, get_algorithm, get_termination
import numpy as np
# 定义问题
class WaterLevelOptimizationProblem:
def __init__(self):
self.n_var = 5 # 五大湖
self.n_obj = 2 # 优化两个目标：最大化总收益，最小化总成本
self.xl = np.array([0, 0, 0, 0, 0]) # 变量下限
self.xu = np.array([100, 100, 100, 100, 100]) # 变量上限
self.x_types = np.array(["real", "real", "real", "real", "real"]) # 变量类型
def evaluate(self, x, out, *args, **kwargs):
# 这里根据具体问题定义目标函数，计算总收益和总成本
f1 = total_revenue(x)
f2 = total_cost(x)
out["F"] = [f1, f2]
# 创建问题实例
problem = WaterLevelOptimizationProblem()
# 选择多目标优化算法（这里以NSGA-II算法为例）
algorithm = get_algorithm("nsga2", pop_size=100)
# 设置终止条件
termination = get_termination("n_gen", 100)
# 解决问题
from pymoo.optimize import minimize
res = minimize(problem,
algorithm,
termination,
seed=1,
verbose=False)
# 输出最优解
print("Best water levels:", res.X)
print("Best objectives:", res.F)
问题二：维持五大湖的最佳水位
- 收集数据： 首先，需要收集五大湖的历史水位数据、流入流出数据，以及其他可能影响水位的因素数据，如降雨量、蒸发量等。这些数据可以从水文观测站、气象站、政府部门等渠道获取。
- 建立水位预测模型： 使用收集到的历史数据，建立一个水位预测模型。这个模型可以是基于统计方法（如时间序列分析、回归分析）、机器学习方法（如神经网络、随机森林）或物理模型（如水文模型）等。
- 制定控制策略： 基于水位预测模型的结果，制定出调整水位的控制策略。这可能涉及到调整水库的放水量、控制水坝的闸门开启程度等措施。
- 实时监测和调整： 对湖泊的水位变化进行实时监测，并根据实时数据对控制策略进行调整。这可能需要建立实时监测系统，定期更新数据，以及制定应急调整方案。
解题模型：
- 水位预测模型：
- 数据处理： 对收集到的数据进行清洗、整理和转换，确保数据的质量和可用性。
- 特征工程： 根据问题的特点，提取合适的特征，并进行特征工程处理，如特征缩放、特征选择等。
- 模型选择： 选择合适的模型进行建模，可以尝试多种模型并比较它们的性能，选择最优的模型。
- 模型训练： 使用历史数据对选定的模型进行训练，并对模型进行参数调优。
- 模型评估： 使用交叉验证等方法对模型进行评估，评估模型的性能和泛化能力。
- 控制策略制定：
- 基于模型预测： 根据水位预测模型的预测结果，制定出调整水位的控制策略。这可能需要考虑到不同时间段的水位变化趋势，以及各种因素对水位的影响程度。
- 多目标优化： 将各利益相关者的需求量化为目标函数的组成部分，使用多目标优化方法制定出平衡各利益相关者需求的最优控制策略。
- 实时监测和调整：
- 数据更新： 建立实时监测系统，定期获取最新的水位数据和其他相关数据。
- 实时控制： 根据实时数据和预测结果，实时调整水位控制策略，以应对突发情况和变化环境。
# 这里使用的是一个简单的线性回归模型作为示例
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 假设我们有一组历史数据，包括流入和流出数据以及对应的水位数据
# 这里使用随机生成的数据作为示例
inflow = [1000, 1100, 1050, 1200, 1150] # 流入数据
outflow = [800, 850, 900, 950, 1000] # 流出数据
water_level = [500, 550, 600, 650, 700] # 对应的水位数据
# 将数据整理成特征和标签的形式
X = [[inflow[i], outflow[i]] for i in range(len(inflow))]
y = water_level
# 建立线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
# 使用模型进行预测（这里假设有新的流入流出数据）
new_inflow = 1100
new_outflow = 850
predicted_water_level = model.predict([[new_inflow, new_outflow]])
print("Predicted water level:", predicted_water_level)
问题三：评估新控制策略对各利益相关者的满意度
- 敏感性分析： 首先，对两个控制大坝的排水量进行敏感性分析，确定不同排水量对水位的影响程度。这可以通过调整排水量并观察水位变化来进行。
- 模拟水位变化： 使用历史数据进行水位变化的模拟，根据不同的排水量方案，预测水位的变化情况。这需要建立一个水位模拟模型，可以是基于物理原理或数据驱动的模型。
- 评估利益相关者满意度： 根据模拟结果，评估新控制策略对不同利益相关者的水位满意度。这可能包括沿岸居民、船舶运输公司、生态保护组织等。评估水位对各利益相关者需求的满足程度，并与实际记录进行对比。
- 确定最佳控制策略： 结合敏感性分析和利益相关者满意度评估，确定最佳的控制策略，以维持五大湖的最佳水位。
解题模型：
- 水位模拟模型：
- 输入： 流入和流出数据，控制大坝的排水量等。
- 输出： 模拟的水位变化情况。
- 模型类型： 可以选择基于物理原理的水文模型，如水动力模型或水库模型；也可以选择数据驱动的模型，如时间序列分析、机器学习模型等。
- 利益相关者满意度评估模型：
- 指标选择： 选择合适的指标来评估各利益相关者的满意度，如水位的稳定性、波动范围、与预期水位的偏差等。
- 权重分配： 根据各利益相关者的重要性，为不同指标分配权重，以综合评估满意度。
# 假设我们有历史数据，包括2017年的流入流出数据和水位数据
# 这里使用随机生成的数据作为示例
import numpy as np
# 历史数据
inflow_2017 = np.random.uniform(800, 1200, 365) # 流入数据
outflow_2017 = np.random.uniform(700, 1100, 365) # 流出数据
water_level_2017 = np.random.uniform(500, 800, 365) # 水位数据
# 模拟新控制策略的效果
# 这里假设我们调整了排水量，模拟新的水位数据
# 可以根据具体情况调整模拟过程和参数
new_outflow_2017 = outflow_2017 * 1.1 # 增加10%的排水量
# 比较模拟结果与实际记录
# 这里可以使用各种评估指标，如水位的稳定性、波动范围等
# 假设我们的评估指标是水位的标准差
satisfaction_actual = np.std(water_level_2017)
satisfaction_new = np.std(water_level_2017 - (new_outflow_2017 - outflow_2017))
# 输出评估结果
if satisfaction_new < satisfaction_actual:
print("新控制策略导致的水位水平优于实际记录")
else:
print("新控制策略导致的水位水平不如实际记录")
问题四：对环境条件变化（如降水、冬季积雪、冰堵）的敏感程度
- 环境条件变化的影响分析： 首先，需要分析降水、冬季积雪和冰堵等环境条件变化对水位的影响程度。这包括确定这些条件变化对水位的直接影响以及可能引发的间接影响。
- 模拟环境条件变化： 基于历史数据和模型，模拟不同环境条件下的水位变化情况。这可以通过调整模型参数或者构建不同情景的模拟实验来实现。
- 敏感性分析： 对模拟结果进行敏感性分析，评估水位对不同环境条件变化的响应程度。这可以通过比较不同情景下的水位变化情况来进行。
- 综合评估： 综合考虑不同环境条件下的水位变化情况，评估算法对环境条件变化的敏感程度，确定其对水位管理的影响。
解题模型：
- 水位模拟模型：
- 基于历史数据建立一个水位模拟模型，可以是物理模型或数据驱动的模型。
- 根据不同的环境条件变化，调整模型参数或输入条件，模拟水位的变化情况。
- 敏感性分析模型：
- 基于模拟结果，评估水位对不同环境条件变化的响应程度。
- 可以使用统计分析方法或可视化分析方法来比较不同情景下的水位变化情况。
# 假设我们有历史数据，包括2017年的流入流出数据和水位数据
# 这里使用随机生成的数据作为示例
import numpy as np
# 历史数据
inflow_2017 = np.random.uniform(800, 1200, 365) # 流入数据
outflow_2017 = np.random.uniform(700, 1100, 365) # 流出数据
water_level_2017 = np.random.uniform(500, 800, 365) # 水位数据
# 模拟不同环境条件下的水位变化
# 假设增加10%的降水量会导致水位上升10个单位
# 假设冬季积雪会导致流入增加20%，流出减少20%
# 假设冰堵会导致流入流出都减少30%
new_inflow_2017 = inflow_2017 * 1.2 # 增加20%的流入
new_outflow_2017 = outflow_2017 * 0.8 # 减少20%的流出
new_water_level_2017 = water_level_2017 + 10 # 水位上升10个单位
# 计算水位对不同环境条件变化的响应程度
sensitivity_to_precipitation = np.mean(new_water_level_2017 - water_level_2017)
sensitivity_to_snow = np.mean(new_water_level_2017 - water_level_2017)
sensitivity_to_ice_jams = np.mean(new_water_level_2017 - water_level_2017)
# 输出敏感性分析结果
print("水位对降水量变化的敏感程度:", sensitivity_to_precipitation)
print("水位对冬季积雪的敏感程度:", sensitivity_to_snow)
print("水位对冰堵的敏感程度:", sensitivity_to_ice_jams)
问题五：安大略湖水位模拟和利益相关者满意度评估
- 利益相关者分析： 首先，需要识别影响安大略湖水位管理的主要利益相关者，如沿岸居民、航运公司、旅游业、环境保护组织等。了解他们的需求和关切点是解决问题的关键。
- 因素分析： 分析影响安大略湖水位的主要因素，包括降雨量、流入流出情况、水库放水政策、大气压力、湖面蒸发率等。理解这些因素对水位变化的影响程度是解决问题的基础。
- 模拟分析： 使用历史数据和水位模拟模型，模拟不同因素对安大略湖水位的影响。可以针对不同情景进行模拟分析，如降雨增加、流入流出变化等。
- 利益相关者满意度评估： 根据模拟结果，评估不同因素对安大略湖水位的影响程度，并综合考虑利益相关者的需求和关切点，评估水位管理措施的效果。
解题模型：
- 水位模拟模型：
- 基于历史数据建立水位模拟模型，可以是物理模型或数据驱动的模型。
- 根据不同因素的变化，模拟安大略湖水位的变化情况，评估不同情景下的水位变化。
- 利益相关者满意度评估模型：
- 考虑利益相关者的需求和关切点，定义合适的评估指标，如水位稳定性、对航运的影响、对生态环境的影响等。
- 根据模拟结果，评估不同因素对各利益相关者的影响程度，综合评估水位管理措施的效果。
# 假设我们有历史数据，包括2017年的流入流出数据和水位数据
# 这里使用随机生成的数据作为示例
import numpy as np
# 历史数据
inflow_2017 = np.random.uniform(800, 1200, 365) # 流入数据
outflow_2017 = np.random.uniform(700, 1100, 365) # 流出数据
water_level_2017 = np.random.uniform(500, 800, 365) # 水位数据
# 模拟不同因素对安大略湖水位的影响
# 假设增加10%的降雨量会导致水位上升15个单位
# 假设流入流出增加10%会导致水位上升10个单位
new_rainfall = inflow_2017 * 1.1
new_outflow = outflow_2017 * 1.1
simulated_water_level = water_level_2017 + 15
# 计算不同因素对水位的影响程度
impact_of_rainfall = np.mean(simulated_water_level - water_level_2017)
impact_of_flow = np.mean(simulated_water_level - water_level_2017)
# 输出影响程度
print("增加10%的降雨量对水位的影响程度:", impact_of_rainfall)
print("增加10%的流入流出对水位的影响程度:", impact_of_flow)
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