算法41：掉落的方块（力扣699题）----线段树

题目：https://leetcode.cn/problems/falling-squares/description/

在二维平面上的 x 轴上，放置着一些方块。

给你一个二维整数数组 positions ，其中 positions[i] = [lefti, sideLengthi] 表示：第 i 个方块边长为 sideLengthi ，其左侧边与 x 轴上坐标点 lefti 对齐。

每个方块都从一个比目前所有的落地方块更高的高度掉落而下。方块沿 y 轴负方向下落，直到着陆到 另一个正方形的顶边 或者是 x 轴上 。一个方块仅仅是擦过另一个方块的左侧边或右侧边不算着陆。一旦着陆，它就会固定在原地，无法移动。

在每个方块掉落后，你必须记录目前所有已经落稳的 方块堆叠的最高高度 。

返回一个整数数组 ans ，其中 ans[i] 表示在第 i 块方块掉落后堆叠的最高高度。

示例 1：

输入：positions = [[1,2],[2,3],[6,1]]
输出：[2,5,5]
解释：
第 1 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 组成，堆叠的最高高度为 2 。
第 2 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 和 2 组成，堆叠的最高高度为 5 。
第 3 个方块掉落后，最高的堆叠仍然由方块 1 和 2 组成，堆叠的最高高度为 5 。
因此，返回 [2, 5, 5] 作为答案。

示例 2：

输入：positions = [[100,100],[200,100]]
输出：[100,100]
解释：
第 1 个方块掉落后，最高的堆叠由方块 1 组成，堆叠的最高高度为 100 。
第 2 个方块掉落后，最高的堆叠可以由方块 1 组成也可以由方块 2 组成，堆叠的最高高度为 100 。
因此，返回 [100, 100] 作为答案。
注意，方块 2 擦过方块 1 的右侧边，但不会算作在方块 1 上着陆。

在算法40中，我们介绍了线段树以及使用线段树求累加和的案例。他们使用的都是一维数据，区间很好划分。而这一题是二维数组，二维数组中的每个一维数组第一个元素代表起始位置，第二个元素代表高度，思来想去，还是不知道如何去划分区间。

1. 之前的区间跟数据没关系，只是跟数据的位置有关系；而本题尝试以二维数组作为一个单元数据，没法划分；

2. 以X轴横坐标划分区间；假设数据量很大，而且数据范围也很大，比如{{1,10}， {10,1000000}，{100000000， 100000000000000000}}； 这样的数组该如何去划分区间呢？貌似也走不通。

离散化技巧：

假设二维数组为 {

{300, 5000}，{17, 67300}，{4500, 5000万}

}

我们把这些坐标进行搜集并排序得到 17,300,4500,5000,67300,5000万; 按照线段树的思路给下标：

下标 ：0	1	2	3	4	5	6
忽略	17	300	4500	5000	67300	500万

如果按照这样的思路，我们就可以得到：

{300, 5000} = [2, 4] 区间

{17, 67300} = [1, 5] 区间

{4500, 5000万} = [3, 6] 区间

这样的技巧就叫做离散化技巧，确实很牛逼。我也是思考了很久，最终看了大神的解释才弄懂的。

本题分析；

假设二维数组中有一个数组 {1,3}，1代表开始位置，3代表长度；得到开始、结束位置{1,4}；

此时，又来一个数组 {4,2}；代表4是开始位置，2是长度；得到开始、结束位置{4,6}

那么此时问题就来了，{1,4} 和 {4,6}存在相同的4；但是本题方块却可以正常紧挨着降落在一排；如果按照区间来划分算高度，4这个位置会出问题：

想要解决这样的问题，结束的位置坐标往左推一个就可以解决;

{1,4} 实际上代表的是 [1,4) 左闭右开； 给转换成 [1,3]

{4,6}实际上代表的是 [4,6) 左闭右开；给转换成 [4,5]

本题中的坐标都只能是整数，这是隐藏信息；因此，以上的转换是正确的。

区间的确定：

本题中，区间是根这些坐标有关系的；利用离散化技巧以及上方关于区间的分析可得；

我们以本题中给定的图片进行分析

第一个数是[1,3)，我们得到[1,2]

第二个数是[2,5), 我们得到[2,4]

第三个数是[6,7), 我们得到[6,6]

无重复收集这些坐标信息，得到 {1,2,4,6}，分别给个下标

下标0	1	2	3	4
忽略	1	2	4	6

这样，我们就知道了第一个方块在 1-2区间；第二个方块在 2-3区间；第三个方块在4区间；

本题是算最大高度的，因此无需原始数组；max数组全部为0即可；

当第一个方块{1,3}落下的时候，{1,3} 对应 1-2区间，也就是跟节点的左子树；那么左子树的高度就为 3； 跟节点取左、右子节点的最大值；

第二个方块{2,5}落下，{2,5}对应 2-3区间；此时，1-2区间的3下方到左、右子节点；

获取到2-3区间的最大值；目测是3；那么此时第二块方块落下以后，2-3区间的最大值就为 3+2 = 5；根节点取左、右子树最大值，也为5；

第三个方块{6,7}对应4区间；那么4区间高度就为1; 取值结果没有变化

目测整个线段树的最大高度会一直汇总到树的顶部，那么只要获取树的顶部数据，就可以获取到最大值了；

package code04.线段树_02;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;
import java.util.TreeSet;

/**
 * 力扣 699题 ：掉落的方块
 * https://leetcode.cn/problems/falling-squares/description/
 */
public class Code02_FallingSquares {

    class SegmentTree {
        int[] max;
        int[] lazy;
        boolean[] update;

        public SegmentTree(int size) {
            max = new int[size * 4];
            lazy = new int[size * 4];
            update = new boolean[size * 4];
        }

        //统计index节点，从左、右节点中选取较大的
        public void count(int index) {
            max[index] = Math.max(max[index * 2], max[index * 2 + 1]);
        }

        public void pushDown(int curIndex)
        {
            //判断curIndex是否有懒数据没更新到子节点
            if (lazy[curIndex] != 0) {
                //左、右子区间加上懒更新的数据
                max[curIndex * 2] = lazy[curIndex];
                max[curIndex * 2 + 1] =  lazy[curIndex];

                //左、右子树区间记录懒数据
                lazy[curIndex * 2] = lazy[curIndex];
                lazy[curIndex * 2 + 1] =  lazy[curIndex];

                //原curIndex数据已经下放到子区间了，此处需要重置为0
                lazy[curIndex] = 0;
            }
        }


        public void add(int left, int right, int curIndex, int start, int end, int value)
        {
            if (start <= left && end >= right) {
                //默认max中全部为高度全部为0. 那么下降一个方块，高度就选取大的加上下架的方块高度 value
                max[curIndex] = value;
                lazy[curIndex] = value;
                return;
            }

            int mid = (left + right)/2;
            //如果当前节点curIndex之前有懒的数据，那么把curIndex之前的懒
            //数据下放到子节点区间
            pushDown(curIndex);

            if (start <= mid) {
                add(left, mid, curIndex * 2, start, end, value);
            }

            if (end > mid) {
                add(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, start, end, value);
            }

            //重新汇总curIndex节点的最大值
            count(curIndex);
        }

        public int query(int left, int right, int curIndex, int start, int end)
        {
            if (start <= left && end >= right) {
                return max[curIndex];
            }

            int max = 0;
            int mid = (left + right) / 2;
            pushDown(curIndex);
            if (start <= mid) {
                int ans = query(left, mid, curIndex * 2, start, end);
                max = Math.max(ans, max);
            }

            if (end > mid) {
                int ans = query(mid + 1, right, curIndex * 2 + 1, start, end);
                max = Math.max(ans, max);
            }
            return max;
        }

        public int getTreeMaxHeight(){
            return max[1];
        }
    }


    public HashMap index(int[][] positions)
    {
        TreeSet pos = new TreeSet<>();
        //离散化过程,统计开始、结束区间的坐标。
        //不管数组长度为多少，最终都是落在这些区间中的
        for (int[] arr : positions) {
            pos.add(arr[0]);
            pos.add(arr[0] + arr[1] - 1);
        }

        int index = 1;
        HashMap map = new HashMap<>();
        //给每个下标编个index，从1开始; 模拟原始线段树的原始数组中给每个元素添加下标的逻辑
       /* for(Iterator iterator = pos.iterator(); iterator.hasNext();) {
            int key = (int) iterator.next();
            map.put(key, index++);
        }*/
        for (Integer key : pos) {
            map.put(key, index++);
        }
        return map;
    }

    public List fallingSquares(int[][] positions)
    {
        //获取到了X轴上对应的下标
        HashMap map = index(positions);
        int size = map.size();
        SegmentTree segmentTree = new SegmentTree(size);

        int left = 1;
        int right = size;
        int curIndex = 1;

        List list = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < positions.length; i++) {
            //任务开始下标
            int startIndex = map.get(positions[i][0]);
            //修改的值
            int value = positions[i][1];
            //任务结束下标； 此下标代表 [1,4) 替换成 [1,3]
            int endIndex = map.get(positions[i][0] + value - 1);

            //这个地方比较有意思，假如3-4区域高度max为5.
            //再降落一块高度为3的石头在1-3区间。不考虑重力因素
            //1-3的高度应该为 5 + 3 = 8； 哪怕之前1-2区域高度为0
            int ans = segmentTree.query(left, right, curIndex, startIndex, endIndex);
            int height = ans + value;
            //降落一块方块
            segmentTree.add(left, right, curIndex, startIndex, endIndex, height);
            //全区间查找最大值
            System.out.println(segmentTree.getTreeMaxHeight());
            list.add(segmentTree.getTreeMaxHeight());
        }
        return list;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Code02_FallingSquares ss = new Code02_FallingSquares();
        //输出2 5 5
        int[][] positions = {{1,2},{2,3},{6,1}};
        ss.fallingSquares(positions);
/*
        int[][] positions2 = {{100,100},{200,100}};
        ss.fallingSquares(positions2);

        int[][] positions3 = {{9,7},{1,9},{3,1}};
        ss.fallingSquares(positions3);

        int[][] positions4 = {{6,4},{2,7},{6,9}};
        ss.fallingSquares(positions4);*/
    }
}

一顿操作猛如虎，结果测试发现胜率不到10%；

查了好久代码，没有发现什么结构上的问题。最终只注释掉了一行：

System.out.println(segmentTree.getTreeMaxHeight());

再测试发现, 96%的胜率：