统计学|Python|主成分分析主成分得分系数计算

前言：

因为spss不能直接得到主成分得分系数，参考csdn上其他博主写的文章，整理了一下用于计算主成分得分系数的代码

主成分分析原理

先略，后面再补

主成分分析代码

需要用到的库及文件读取，以下以读取csv文件为例，pandas还可以读取excel、sav（spss常用的数据集格式）等格式

案例数据：

全国重点水泥企业某年的经济效益分析，评价指标有：X1为固定资产利税率, X2为资金利税率, X3为销售收入利税率, X4为资金利润率, X5为固定资产产值率, X6-流动资金周转天数, X7-万元产值能耗, X8-全员劳动生产率；现有15家水泥企业的数据如下，试利用主成分法综合评价其效益。

数据

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
企业A	16.68	26.75	31.84	18.4	53.25	55	28.83	1.75
企业B	19.7	27.56	32.94	19.2	59.82	55	32.92	2.87
企业C	15.2	23.4	32.98	16.24	46.78	65	41.69	1.53
企业D	7.29	8.97	21.3	4.76	34.39	62	39.28	1.63
企业E	29.45	56.49	40.74	43.68	75.32	69	26.68	2.14
企业F	32.93	42.78	47.98	33.87	66.46	50	32.87	2.6
企业G	25.39	37.85	36.76	27.56	68.18	63	35.79	2.43
企业H	15.05	19.49	27.21	14.21	56.13	76	35.76	1.75
企业I	19.82	28.78	33.41	20.17	59.25	71	39.13	1.83
企业J	21.13	35.2	39.16	26.52	52.47	62	35.08	1.73
企业K	16.75	28.72	29.62	19.23	55.76	58	30.08	1.52
企业L	15.83	28.03	26.4	17.43	61.19	61	32.75	1.6
企业M	16.53	29.73	32.49	20.63	50.14	69	37.57	1.31
企业N	22.24	54.59	31.05	37	67.95	63	32.33	1.57
企业O	12.92	20.82	25.12	12.54	51.07	66	39.18	1.83

1. 库及数据集文件读取

# 数据处理
import pandas as pd
import numpy as np
 
# 绘图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

#读取数据集文件
df = pd.read_csv("hw91.csv")
'''怎么把数据变成csv格式？
pd.read_csv默认读取UTF-8的编码模式
可以把数据复制到excel选择另存为CSV UTF-8（逗号分隔）格式'''

2. 相关性检验

进行主成分分析前，需要对数据进行相关性检验

检验方法一般是

（1）KMO检验

（2）巴特利球形检验

# KMO检验
''' 检查变量间的相关性和偏相关性，取值在0-1之间；
    KMO统计量越接近1，变量间的相关性越强，偏相关性越弱，因子分析的效果越好
    '''
#记得检查一下是否安装了 factor_analyzer的库
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_kmo
#kmo_all, kmo_model = calculate_kmo(df)
kmo = calculate_kmo(df)
print(f'KMO检验结果为：{kmo[1]}')

#进行球状检验
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_bartlett_sphericity
chi_square_value, p_value = calculate_bartlett_sphericity(df)
print(f'卡方={chi_square_value},P值={p_value}')

输出：

附：spss结果

（3）数据标准化，求相关系数矩阵

# 数据标准化
from sklearn import preprocessing
dfz = preprocessing.scale(df)
print(f'数据标准化后结果如下：\n{dfz}')

数据标准化结果

利用标准化后的数据求相关系数矩阵

# 相关系数矩阵
covX = np.around(np.corrcoef(dfz.T),decimals=3)
print(f'相关系数矩阵如下：\n{covX}')

输出结果：

 附：spss结果

3. 主成分选择

（1）特征值和特征向量的求解

# 求解特征值和特征向量
featValue, featVec = np.linalg.eig(covX.T)
print(f'解得，特征值为：\n{featValue}, \n特征向量为：\n{featVec}')
featValue = sorted(featValue)[::-1]
featValue

输出结果：

绘制散点图和折线图

# 绘制散点图和折线图
plt.scatter(range(1, df.shape[1] + 1),featValue)
plt.plot(range(1, df.shape[1]+1), featValue)

#显示图的标题和xy轴的名字
plt.title('Scree Plot')
plt.xlabel('Factors')
plt.ylabel('Eigenvalue')

plt.grid()
plt.show()

输出散点图（也就是常说的碎石图）

进行特征值贡献度和累计贡献度的计算

#特征值贡献度
gx = featValue/np.sum(featValue)

#累计贡献度
lg = np.cumsum(gx)
print(f'特征值累计贡献度：\n{lg}')

输出结果

这里可以加一个绘制累计贡献度图像的代码，下回再加（）

选择主成分：

关于主成分的选择，一般根据特征值累计贡献度或者根据特征值是否大于1，本例参考spss的评判标准，选择用特征值是否大于1

#主成分选择
'''参考spss判定：特征值>1的选为主成分'''
k = [i for i in range(0, len(featValue)) if featValue[i]>1]
k = list(k)
print(f'选择的主成分为:{k}')
'''第0个成分即第1个成分'''

输出结果：

附：spss 主成分选择的结果

关于主成分选择地判定条件当然还可以这样选择：

'''下行代码为按照贡献度进行判断，但哪种才是最通用的方法，目前我也不清楚'''
k = [i for i in range (len(lg)) if lg[i] < 0.85]


'''下行代码适用于主成分分析回归不降维时的主成分得分系数计算
也就是有多少个自变量就有多少个主成分，这样能够保证数据最大程度地被提取'''
k= [i for i in range(0, len(featValue))]

4. 主成分得分系数计算

选择主成分对应的特征向量矩阵，即为主成分得分系数（？）与spss得到的结果一致

#选择出主成分对应的特征向量矩阵
selectVec = np.matrix(featVec.T[k]).T
selectVec = selectVec*(-1)
print(f'主成分对应的特征向量矩阵为:\n{selectVec}')

以下为spss计算得到的结果：但此处我们求出的是公因子的得分而非主成分得分，还需将因子得分乘以相应的方差才可得到主成分得分，计算结果如下表所示。

可以发现python得到的结果和spss处理后的结果一致