算法刷题day02

引言

这篇博客其实是第一天刷的题，但写这个系列却是之后写的，所以补一下。

一、指数型枚举

标签：位运算、dfs

题目描述：

从 1∼n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式
输入一个整数 n。

输出格式
每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1 个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围
1≤n≤15
输入样例：
3
输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20;
bool st[N];
int a[N];
int n;

void dfs(int u)  // [0,n-1]
{
    if(u == n)
    {
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            if(st[i]) printf("%d ", a[i]);
        }
        puts("");
        return;
    }
    
    st[u] = false;
    dfs(u+1);
    
    st[u] = true;
    dfs(u+1);
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for(int op = 0; op < 1 << n; ++op)
    {
        for(int k = 0; k < n; ++k)
        {
            if(op >> k & 1)
            {
                printf("%d ", k+1);
            }
        }
        puts("");
    }
    
    return 0;
}

二、排列型枚举

这个搞出了个乌龙，本来自己拼next_permutation是对的，然后不放心看了下笔记，然后错了，才发现笔记上记得是错的，哈哈哈。
标签：dfs、next_permutation

题目描述：

把 1∼n 这 n 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式
一个整数 n。

输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围
1≤n≤9
输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20;

int ways[N];
bool st[N];
int n;

void dfs(int u)  //[1,n]
{
    if(u > n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            printf("%d ", ways[i]);
        }
        puts("");
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(!st[i])
        {
            ways[u] = i;
            st[i] = true;
            dfs(u+1);
            
            st[i] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    dfs(1);
    
    return 0;
}

第二个版本

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> arr(n,0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) arr[i-1] = i; 
    
    do
    {
        for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%d ", arr[i]);
        puts("");
    }while(next_permutation(arr.begin(),arr.end()));
    
    return 0;
}

三、简单的斐波那契

标签：dfs

题目描述：

以下数列 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... 被称为斐波纳契数列。

这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。

输入一个整数 N，请你输出这个序列的前 N 项。

输入格式
一个整数 N。

输出格式
在一行中输出斐波那契数列的前 N 项，数字之间用空格隔开。

数据范围
0

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 50;

int n;
int nums[N] = {0, 1};

int Fibo(int n)
{
    if(n == 1) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    if(nums[n]) return nums[n];
    
    nums[n-1] = Fibo(n-1);
    nums[n-2] = Fibo(n-2);
    
    return nums[n-1] + nums[n-2];
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%d ", Fibo(i+1));
    
    return 0;
}

四、费解的开关

标签：位运算

题目描述：

你玩过“拉灯”游戏吗？

25 盏灯排成一个 5×5 的方形。

每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。

每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。

游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。

我们用数字 1 表示一盏开着的灯，用数字 0 表示关着的灯。

下面这种状态

10111
01101
10111
10000
11011
在改变了最左上角的灯的状态后将变成：

01111
11101
10111
10000
11011
再改变它正中间的灯后状态将变成：

01111
11001
11001
10100
11011
给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在 6 步以内使所有的灯都变亮。

输入格式
第一行输入正整数 n，代表数据中共有 n个待解决的游戏初始状态。

以下若干行数据分为 n 组，每组数据有 5行，每行 5 个字符。

每组数据描述了一个游戏的初始状态。

各组数据间用一个空行分隔。

输出格式
一共输出 n 行数据，每行有一个小于等于 6 的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。

对于某一个游戏初始状态，若 6 步以内无法使所有灯变亮，则输出 −1。

数据范围
0

示例代码：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 10;

char a[N][N], backup[N][N];
int n;

void turn(int i, int j)
{
    if(i < 0 || i >= 5 || j < 0 || j >= 5) return;
    
    a[i][j] ^= 1;
}

void turn_all(int i, int j)
{
    int dir[5][2] = {0,0, 1,0, -1,0, 0,1, 0,-1};
    for(int k = 0; k < 5; ++k)
    {
        int x = dir[k][0] + i;
        int y = dir[k][1] + j;
        turn(x,y);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        for(int i = 0; i < 5; ++i) scanf("%s", &a[i]);
        
        int res = 7;
        for(int op = 0; op < 1 << 5; op ++)
        {
            memcpy(backup, a, sizeof a);
            int cnt = 0;
            for(int k = 0; k < 5; ++k)
            {
                if(op >> k & 1)
                {
                    cnt++;
                    turn_all(0,k);
                }
            }
            
            for(int i = 1; i < 5; ++i)
            {
                for(int j = 0; j < 5; ++j)
                {
                    if(a[i-1][j] == '0')
                    {
                        cnt++;
                        turn_all(i,j);
                    }
                }
            }
            
            bool flag = true;
            for(int j = 0; j < 5; ++j)
            {
                if(a[4][j] == '0') 
                {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            
            if(flag && cnt < res) res = cnt;
            
            memcpy(a, backup, sizeof a);
        }
        
        if(res == 7) puts("-1");
        else printf("%d\n", res);
    }
    
    return 0;
}

五、总结

• 一般指数型枚举都用位运算来解决
• next_permutation用do{}while;来表示，因为刚开始序列是不会循环到的
• 有些像开关问题，改变一种状态，然后与之关联的也会改变的，一般就是把自己路堵死做法，从最左、最上开始改变，那么到结束状态的改变方法是唯一的，那么就可以指数型枚举所有方法，然后找出最优解。