CCF-CSP 202303-2 垦田计划

题目要求

‍⬛问题描述

顿顿总共选中了 $n$ 块区域准备开垦田地，由于各块区域大小不一，开垦所需时间也不尽相同。据估算，其中第 $i$ 块 $(1\le i\le n)$ 区域的开垦耗时为 $t_i$ 天。这 $n$ 块区域可以同时开垦，所以总耗时 $t_{Total}$ 取决于耗时最长的区域，即：
$t_{Total}=max\{t_1,t_2,\cdot \cdot \cdot ,t_n\}$
为了加快开垦进度，顿顿准备在部分区域投入额外资源来缩短开垦时间。具体来说：

• 在第 $i$ 块区域每投入 $c_i$ 单位资源，便可将其开垦耗时缩短 $1$ 天；
• 耗时缩短天数以整数记，即第 $i$ 块区域投入资源数量必须是 $c_i$ 的整数倍；
• 在第 $i$ 块区域最多可投入 $c_i\times (t_i-k)$ 单位资源，将其开垦耗时缩短为 $k$ 天；
• 这里的 $k$ 表示开垦一块区域的最少天数，满足 $0<k\le min\{t_1,t_2,\cdot \cdot \cdot ,t_n\}$；换言之，如果无限制地投入资源，所有区域都可以用 $k$ 天完成开垦。

现在顿顿手中共有 $m$单位资源可供使用，试计算开垦 $n$ 块区域最少需要多少天？

‍⬛输入格式

从标准输入读入数据。
输入共 $n+1$ 行。
输入的第一行包含空格分隔的三个正整数 $n$、$m$ 和 $k$，分别表示待开垦的区域总数、顿顿手上的资源数量和每块区域的最少开垦天数。

‍⬛输出格式

输出到标准输出。
输出一个整数，表示开垦 $n$ 块区域的最少耗时。

‍⬛样例输入1

4 9 2
6 1
5 1
6 2
7 1

‍⬛样例输出1

5

‍⬛样例解释1

如下表所示，投入 $5$ 单位资源即可将总耗时缩短至 $5$ 天。此时顿顿手中还剩余 $4$ 单位资源，但无论如何安排，也无法使总耗时进一步缩短。

i	基础耗时	$t_i$缩减 $1$ 天所需资源	$c_i$ 投入资源数量	实际耗时
1	6	1	1	5
2	5	1	0	5
3	6	2	2	5
4	7	1	2	5

‍⬛样例输入2

4 30 2
6 1
5 1
6 2
7 1

‍⬛样例输出2

2

‍⬛样例解释2

投入 $20$ 单位资源，恰好可将所有区域开垦耗时均缩短为 $k=2$ 天；受限于 $k$，剩余的 $10$ 单位资源无法使耗时进一步缩短。

‍⬛子任务

70% 的测试数据满足：$0<n$， $t_i,c_i\le 100$ 且 $0<m\le 10^6$；
全部的测试数据满足：$0<n$， $t_i,c_i\le 10^5$ 且 $0<m\le 10^9$。

问题解决

满分代码（含逐行代码解释）

C++

#include
using namespace std;
 
int main(){
	long long int n, m, k;
	cin >> n >> m >> k;
	/*
		int t[100001], c[100001];
		int source[100001]; //source表示削减开垦时长所消耗的资源
	*/
	map<int, int>t, c, source;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cin >> t[i] >> c[i]; //输入	
	}
	/*总耗时取决于耗时最长的区域！！！*/
	int max; //表示开垦耗时最多的区域 
	for(int i = 0; i < n; i++){
		if(t[i] > max){
			max = t[i]; //遍历输入的开垦耗时，更新max为耗时的最大值 
		}	
		source[t[i]] += c[i]; //计算所有地块每缩减一天所需要的资源之和 
	}
	for(int i = max; i > 0; i--){ //从最大开垦天数到最小开垦天数遍历 
		if(max == k){
			break; //如果最大开垦天数为至少要开垦的天数，则无需任何计算，跳出循环 
		}
		if(m > source[i]){ //m是顿顿手中的资源总数 
			m = m - source[i]; //更新每减少一天的开垦天数顿顿手中剩下的资源 
			source[i-1] += source[i]; //将第i天的开垦所需要的资源数量累加到第i-1天的资源数量上，因为此处i是由大到小遍历，所以i-1是i往后遍历的下一项 
			max--; //最大开垦天数减一，直到顿顿手中资源不够或者max == k 
		}
		else break; //顿顿手中的资源不够时跳出循环 
	}
	cout << max;
}

Python

n, m, k = map(int, input().split())
t, c, source = {}, {}, {}

for i in range(n):
    ti, ci = map(int, input().split())
    t[i], c[i] = ti, ci

max_t = 0
for i in range(n):
    if t[i] > max_t:
        max_t = t[i]   
    if t[i] not in source:
        source[t[i]] = 0
    source[t[i]] += c[i]

while max_t > k and m > 0:
    if m >= source[max_t]:
        m -= source[max_t]
        if max_t-1 not in source:
            source[max_t-1] = 0
        source[max_t-1] += source[max_t]
        max_t -= 1
    else:
        break

print(max_t)

场景拓展

本题代码可以用于解决以下应用场景：

• 开垦问题：这段代码可以计算在给定资源情况下，开垦指定天数所需的最长时间。
• 资源分配问题：这段代码通过计算每个区域在不同时间段需要的资源数量，然后根据顿顿手中的资源总数，按照优先级分配资源。可以用于管理资源分配、调度或优化问题。
• 动态规划问题：该代码使用动态规划的思想，通过逐步更新状态，计算得到最优解。可以用于解决其他类似的动态规划问题，例如背包问题、路径规划等。