定积分的定义和基本性质

1、定积分的结果一定是一个数，定积分的值与积分变量无关（与被积函数和积分上下限有关）。

 

2、注意上下限。上下限相同定积分的结果为0

3、原函数存在 => 不定积分存在。

      可积=>在某个积分区间定积分的存在性。

可积的充分条件

1、 在区间连续，则 存在。

2、 在区间有界而且存在有限个间断点，则 存在 。

第一类间断点（可去、跳跃）

第二类间断点（震荡）

有限个间断点是指上方这几种间断点（无穷间断点无界，不满足条件）。

3、 在区间单调，则 存在 。

可积的必要条件

如果 存在，则可以推出 在区间有界。

有界不一定可积，可积一定有界。（有界指在闭区间）

可积不一定连续，连续一定可积。（连续指在闭区间）

定积分的性质

1、线性性质 并且是常数。

2、积分区间的可加性

3、单调性 如果 则  (画个图就看的出来)

4、绝对可积性 左边先积分好了在变正，右边函数直接翻到上方所有都变正值了。

5、若在上连续， 则

 常考题型：积分不等式和求极限。

中值定理

若在上连续，则

 若在上连续，不变号，则

常考题型：定积分的证明；求极限

积分上限函数

设在上连续，则在上可导且

设连续。

若是奇函数，则是偶函数。

若是偶函数，则是奇函数。

定积分的计算

1、牛顿-莱布尼兹公式     （求的原函数）

2、换元法   . (换元 积分的上下限也要变）

3、分部积分法 

4、利用奇偶性，周期性