P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员（内附封面）

[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1. 给定$ m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；
2. 选出一个参数 $W$；
3. 对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]\times \sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum _{i=1}^m{y}_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

样例输出 #1

10

提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 $1\le n,m\le 10$；

对于 $30% $的数据，有 $1\le n,m\le 500$ ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1\le n,m\le 10,000$ ；

对于 $100\%$ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，$0<w_i,v_i\le 10^6$，$0<s\le 10^{12}$，$1\le l_i\le r_i\le n$ 。

大致思路

这道题是二分专题，首先我们要找单调性，观察到数据全部为正数，那么首先想到w越大则yi越小。
单调性就在这里了，想到二分基准值W。
但是我们要求的|y - s|的最小值，而最小值的话就不一定具有单调性了，可能需要三分，但我也不确定这是个单峰函数，毕竟数学不好 。
感到那么一丝诡异，想了想算了，写了再说。
然后区间 [ l , r ] 的处理怎么办呢？
首先每次查询可以在O(N)时间内用前缀和处理大于基准值的个数，然后同时可以处理另一项的前缀和。
最后把所有区间的答案用前缀和处理相加就ok了。
在这个过程中记录最小值就行了，反正最后的结果过程是再基准值k的周围反复横跳，答案肯定在一边就是了。

在$w[i]>=W$时这个 $i$ 矿石会在统计里（若$pre[i]=pre[i-1]$），

$$矿石价值和是：pr{e}_v[i]=pr{e}_v[i-1]+v[i]$$

$$矿石数量和是：pr{e}_n[i]=pr{e}_n[i-1]+1$$

AC CODE

#include
#define int long long int
using namespace std;
const int N=2e5+123;
int n,m,s,l=0,r=N*10;
int ans=1e14;
struct node{
	int w,v;
}a[N];
struct node2{
	int l,r;
}b[N];
int smx[N],smv[N];
bool check(int x){
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].w>=x){
			smx[i]=smx[i-1]+1;
			smv[i]=smv[i-1]+a[i].v;
		}
		else {
			smx[i]=smx[i-1];
			smv[i]=smv[i-1];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		sum+=(smx[b[i].r]-smx[b[i].l-1])*(smv[b[i].r]-smv[b[i].l-1]);
	}
	if(abs(s-sum)<=ans){
		ans=abs(s-sum);
		
	}
	if(s>sum)return 0;
	else return 1;
}

signed main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].w>>a[i].v;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>b[i].l>>b[i].r;
	}
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			l=mid+1;
		}
		else r=mid-1;
		//cout<
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
/*5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
*/

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