matlab+Simulink实现微分方程求解及子系统封装

1.内容

（一）、Lorenz模型的状态方程表示为：

初值为

要求：

1.建立脚本，采用四阶五级的(Runge-Kutta-Felhberg, RKF)方法，调用ode45()方法求解该方程；

2.在Simulink下完成下列要求：

     (1) 在Simulink下为上述方程组建立仿真模型，保存在st1.mdl中;

     (2)仿真时间tout初值为0，终值根据实际情况而定，在图形窗口中设置4个子窗口，将x1(t),x2(t),x3(t)和相三维图分别绘在其中：

        （a) 给该图形窗口增加标题“Lorenz模型的状态方程仿真图形”；

        （b）给每个子窗口加坐标轴名称。

     (3)将tout, x1(t),x2(t),x3(t)中的数据分别保存到变量t，x1，x2及x3中，将这四个变量保存到st1_data.mat数据文件中。

（二）、下面给出的微分代数方程表示为：

初始条件为x10=0.8,  x20=x30=0.1

要求：

1.建立脚本，采用刚性方程求解算法ode15()函数求解该方程；

2.在Simulink下完成下列要求

（1）在Simulink下为上述一阶微分方程组建立仿真模型，保存在st1.mdl中;

（2）利用（1）中的仿真模型，在Simulink下调用ode15( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为20，在图形窗口中设置2×2四个子窗口，将x1(t)，x2(t)，x3(t)和x(t)(包含x1(t), x2(t)和x3(t)三个变量)，分别绘在四个子窗口中，并包括：

       （a）给该图形窗口增加标题“微分代数方程仿真图形”；（b）给每个子窗口加坐标轴名称。

（3）  将tout，x1(t),，x2(t)和x3(t)中的数据分别保存到变量t，y1，y2和y3中，将这四个变量保存到st1_data.mat数据文件中。

（三）、子系统封装及仿真

（1）将图1中的PID Controller模型图在Simulink下封装成子系统；其中：

图１ PID Controller模型图

（2）将（1）中的子系统用在图２所示的仿真模型（保存到st2.mdl）中，在Simulink下调用ode45( )方法进行仿真求解单位阶跃响应y(t)（包括y(t)响应曲线和tout在0-20秒内的y(t)的值）。

　　　　

图2  PID控制系统仿真图

   Kp=11.520，Ti=0.658，Td=0.164，Step为单位阶跃函数。如果仿真输出超调量过大，希望调整以上参数以获取更好的动态性能。

2. 过程

（一）、Lorenz模型

1. 建立脚本，采用四阶五级的(Runge-Kutta-Felhberg, RKF)方法，调用ode45()方法求解该方程；

脚本：

clear;

f=@(t,x)[-8*x(1)/3+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];

t=50;

x0=[0;0;1e-10];

[t,x]=ode45(f,[0,t],x0); 

x1=x(:,1);

x2=x(:,2);

x3=x(:,3);

plot3(x1,x2,x3);%绘制相三维图

xlabel('x1(t)'),ylabel('x2(t)'),zlabel('x3(t)');

title('Lorenz模型的状态方程仿真图形');

运行图形：

图3 Lorenz模型三维仿真图

2. Simulink仿真

    Lorenz仿真模型：

图4 Lorenz仿真模型

设置相关属性：

形式改为数组形式

图5 修改为数组形式

调用ode45( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为50

图6 修改方法以及时间

设置初值为

图7 修改x1,x2,x3初始值

脚本实现绘图保存数据等功能：

t=tout;

x1=yout(:,1);

x2=yout(:,2);

x3=yout(:,3);

subplot(2,2,1);%设置2*2四个子窗口

plot(t,x1);%绘制x1(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x1(t)');%设置坐标轴

subplot(2,2,2);

plot(t,x2);%绘制x2(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x2(t)');

subplot(2,2,3);

plot(t,x3);%绘制x3(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x3(t)');

subplot(2,2,4);

plot3(x1,x2,x3);%绘制相三维图

xlabel('x1(t)'),ylabel('x2(t)'),zlabel('x3(t)');

suptitle('Lorenz模型的状态方程仿真图形');

save st1_data t x1 x2 x3;%保存

    仿真图形

图8 Lorenz模型仿真图形

比较脚本和仿真的运行图形可以发现它们是有区别的

在脚本和仿真模型都运行过后，查看工作区：

图9 工作区

可以发现，脚本中运行后时间和结果长度都是2597，而仿真中tout和yout长度都是530，这导致所绘制的图形有所不同，经过查阅得知可能与ode45为变步长算法有关，自动根据连续状态变化速度，来改变步长，但是具体原因还未弄清。但是可以验证它们的趋势一致，由此可见，ode45脚本解方程与仿真解方程两种方式都是没有问题的。

    保存的数据文件st1_data.mat

图10 保存的st1_data.mat文件

（二）微分方程

1. 建立脚本，采用刚性方程求解算法ode15()函数求解该方程；

脚本：

clear;

f=@(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);x(1)+x(2)+x(3)-1];

A=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];

options=odeset;

options.Mass=A;

x0=[0.8;0.1;0.1];

[t,x]=ode15s(f,[0 20],x0,options); 

ph=plot(t,x);

xlabel('时间t'),ylabel('x(t)');

legend([ph(1),ph(2),ph(3)],'x1(t)','x2(t)','x3(t)');

suptitle('微分代数方程仿真图形');

仿真图形：

图11 微分代数方程仿真图形

2. Simulink仿真

    微分代数方程仿真模型：

图12 微分代数方程仿真模型

设置相关属性：

形式改为数组形式

图13 修改输出形式

调用ode15( )方法进行仿真求解x1(t), x2(t)和x3(t)，仿真时间tout初值为0，终值为20

图14 修改调用方法以及时间

设置初值为。

图15 修改初始值

脚本实现绘图保存数据等功能：

脚本：

t=tout;

x1=yout(:,1);

x2=yout(:,2);

x3=yout(:,3);

subplot(2,2,1);%设置2*2四个子窗口

plot(t,x1);%绘制x1(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x1(t)');%设置坐标轴

subplot(2,2,2);

plot(t,x2);%绘制x2(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x2(t)');

subplot(2,2,3);

plot(t,x3);%绘制x3(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x3(t)');

subplot(2,2,4);

ph=plot(t,yout);%绘制x(t)曲线

xlabel('时间t'),ylabel('x(t)');

legend([ph(1),ph(2),ph(3)],'x1(t)','x2(t)','x3(t)');

suptitle('微分代数方程仿真图形');

y1=x1;y2=x2;y3=x3;

save st1_data t y1 y2 y3;%保存

仿真图形

图16 微分代数方程仿真图形

可以看出与ode15脚本所绘制图形一致，表明两种解代数方程的方法均有效实现

保存的数据文件st1_data.mat

图17 保存的文件

（三）、子系统封装及仿真

    （1）将图1中的PID Controller模型图在Simulink下封装成子系统

图18 子系统封装内部结构

      图19 封装后

（2）将（1）中的子系统用在图２所示的仿真模型（保存到st2.mdl）中，在Simulink下调用ode45( )方法进行仿真求解单位阶跃响应y(t)（包括y(t)响应曲线和tout在0-20秒内的y(t)的值）。

    G（s）值设置：

图20 设置G(s)值

    仿真模型：

图21 仿真模型

鼠标右击simulink子系统mask如下图所示

图22 创建mask

设置相关参数的值：

图23 修改参数初始值

设置起始到终止时间0-20，调用ode45

图24 修改方法以及时间

此时示波器中仿真图形：

图25 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=0.164

将Kp值减小为8，所的仿真图形：

图26 Kp=8,Ti=0.658,Td=0.164

超调量减小

继续将Kp值减小为4，所的仿真图型如下：

图27 Kp=4,Ti=0.658,Td=0.164

可以看出此时超调量几乎没有了，且曲线变得更加平缓

而若将Kp值升高为15：

图28 Kp=15,Ti=0.658,Td=0.164

超调量将会增大，且曲线上升的趋势更加陡峭

保持Kp值为15不变，此时如果我们将Ti值增加到1：

图29 Kp=11.52,Ti=1,Td=0.164

超调量明显减小，系统响应趋于稳态值的速度加快

此时继续升高Ti至1.5：

图30 Kp=11.52,Ti=1.5,Td=0.164

曲线无超调，初期曲线陡峭，然后快速平缓趋于稳态

将Ti减小至0.5：

图31 Kp=11.52,Ti=0.5,Td=0.164

曲线振荡，稳定性降低

此时，再将Td值增加至1：

图32 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=1

曲线振荡减弱

而若将Td减少至0.5：

图33 Kp=11.52,Ti=0.658,Td=0.5

振荡幅度增加

3. 结果分析

通过上述过程分析可以发现，随着Kp的增大系统的响应速度越快，系统的调节精度越高，但是系统易产生超调，系统的稳定性变差，甚至会导致系统不稳定。Kp取值过小，调节精度降低，响应速度变慢，调节时间加长，使系统的动静态性能变坏。Ti可以消除系统的稳态误差。Ti越大系统的稳态误差消除的越快，但Ti如果过大，在响应过程的初期会产生积分饱和现象。若Ti过小，系统的稳态误差将难以消除，影响系统的调节精度，系统可能会更加不稳定，此时可以增加Td的值改善系统的动态性能，抑制响应过程中出现的振荡偏差，系统的抗干扰性能增强。