平面向量之目：2014年理数全国卷A题15

2014年理数全国卷A题15

（15）已知 为圆 上的三点，若 ，则
与 的夹角为 .

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【解法1】

延长 , 与圆交于点 , 则

根据向量相加的平行四边形法则可知： 是平行四边形；

因为 三点共线，所以 是圆的直径，所以 .

平行四边形 有一个内角是直角，所以，它是一个矩形，所以，四个内角都是直角。

结论： 与 的夹角为 .

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【解法2】

记 中点为 , 则

圆心 是 的中点.

结论： 与 的夹角为 .

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【提炼与提高】

向量沟通几何与代数。本题生动地体现了这一点。本题难度不算很高，但需要综合几个方面的知识解答。

本题涉及的平面几何知识如下：

（1）圆的直径所对的圆周角等于 .

（2）三角形中，如果某条边的中线长等于这条边的一半，则这条边所对的内角是直角。

（3）平行四边形的两条对角线互相平分。

（4）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（5）矩形的四个内角都等于 .

平面几何有困难的同学请参考以下文档：

平面几何复习与提高：直角三角形与等腰三角形

本题涉及的向量知识包括：

（1）向量相加的平行四边形法则；

（2）2向量数乘的含义；

（3）常用结论： 中， 是 边的中点，则 .

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