数据结构 —— 复杂度讲解

数据结构 —— 内存中存储管理数据的结构。

那么我们肯定也听过数据库，数据库和数据结构有什么区别？

两者本质都是存储管理数据。

数据库 —— 在磁盘中存储管理数据

数据结构 —— 在内存中管理存储数据

一个是在磁盘中，一个是在内存中有什么区别？

简单来说内存是带电存储，有电的时候可以存储，没电就没有了，如果没电了还想存储那么就要存到数据库了。

算法复杂度:

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展早期，计算机存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度：

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

那么下面这个程序的时间复杂度是多少？

既然算法的时间复杂度是一个函数（是数学中的函数，带未知数的函数） 那么上面的程序的时间复杂度是 N*N + 2*N + 10 (准确的时间复杂度函数式) ，函数式计算的算法运行准确次数。

时间复杂度就是算执行的次数，求出准确的次数意义不大，也不利于比较。再者说比如一个程序的准确时间复杂度是  100*100 + 2*10 + 10 ，100*100 已经很大了，加上后面的对其影响也不大，所以我们在计算时间复杂度的时候，只保留了最高阶项 —— 大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法： ( 大概估算，方便比较 )

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，刚才程序的时间复杂度为： O(N^2)

再来举个例子：

上面这个程序的准确时间复杂度是 2*N + 10 大O渐近表示法是 O(N)

通俗点说，时间复杂度就是估算它属于哪个量级的算法。

下面还有一个例子：

上面这个程序因为不知道 M 和 N  的大小，所以大O渐近表示法就是 O(M+N).

如果 N 远大于 M = O(N) ；如果 M 远大于 N = O(M)；如果一样大那么 O(N) 或者 O(M) 都可以。

下面还有一个例子：

这个程序的时间复杂度为 O(1)，O(1) 不是表示执行 1 次，而是表示执行常数次。

如果上面这个程序是 j < 10000 ，那么也是 O(1），代表的是常数次。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:

最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况:任意输入规模的期望运行次数

最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据 X

最好情况:1次找到

最坏情况:N次找到 (默认取的是最坏情况)

平均情况:N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

下面是二分查找的程序，求其时间复杂度：

空间复杂度：（相较于时间复杂度来说，空间复杂度不太关注）

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。(额外开辟的空间)
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
注：空间不累积，时间是累积的。

那么为什么空间复杂度不太关注呢？

通俗点说，因为以前的电脑内存小，比较看重空间复杂度；如今的电脑相当于首富，这个首富想买吃的它在不在乎吃的多钱？

下面来看几个例子：

下面还有一个例子：

下面还有一个例子： 

如果想看是否空间是不是累积的话，可以写个程序测试一下：

 

 这个程序的两个函数 f1、f2 里面都有定义的变量，并且打印出来的地址都是一样的，说明什么？

说明 f1 调用完成之后就销毁了， f2 是在 f1 销毁之后，在 f1 位置上 开辟的栈帧。

也就是说 空间是不累积的，可以重复使用。