CF1547F Array Stabilization (GCD version) 二分+ST表

Array Stabilization (GCD version)

You are given an array of positive integers $a=[a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}]$ ($n\ge 2$).

In one step, the array $a$ is replaced with another array of length $n$, in which each element is the greatest common divisor (GCD) of two neighboring elements (the element itself and its right neighbor; consider that the right neighbor of the $(n-1)$-th element is the $0$-th element).

Formally speaking, a new array $b=[b_0,b_1,\dots ,b_{n-1}]$ is being built from array $a=[a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}]$ such that $b_i$ $=\gcd (a_i,a_{(i+1)\mathrm{mod}n})$, where $\gcd (x,y)$ is the greatest common divisor of $x$ and $y$, and $x\mathrm{mod}y$ is the remainder of $x$ dividing by $y$. In one step the array $b$ is built and then the array $a$ is replaced with $b$ (that is, the assignment $a$ := $b$ is taking place).

For example, if $a=[16,24,10,5]$ then $b=[\gcd (16,24)$, $\gcd (24,10)$, $\gcd (10,5)$, $\gcd (5,16)]$ $=[8,2,5,1]$. Thus, after one step the array $a=[16,24,10,5]$ will be equal to $[8,2,5,1]$.

For a given array $a$, find the minimum number of steps after which all values $a_i$ become equal (that is, $a_0=a_1=\cdots =a_{n-1}$). If the original array $a$ consists of identical elements then consider the number of steps is equal to $0$.

Input

The first line contains an integer $t$ ($1\le t\le 10^4$). Then $t$ test cases follow.

Each test case contains two lines. The first line contains an integer $n$ ($2\le n\le 2\cdot 10^5$) — length of the sequence $a$. The second line contains $n$ integers $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ ($1\le a_i\le 10^6$).

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases doesn’t exceed $2\cdot 10^5$.

Output

Print $t$ numbers — answers for each test case.

Example

input

5
4
16 24 10 5
4
42 42 42 42
3
4 6 4
5
1 2 3 4 5
6
9 9 27 9 9 63

output

3
0
2
1
1

题目翻译

给你一个由正整数 $a=[a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}]$ ( $n\ge 2$ ) 组成的数组。

在一个步骤中，数组 $a$ 被另一个长度为 $n$ 的数组取代，其中每个元素都是两个相邻元素(元素本身及其右邻；考虑到 $(n-1)$ /th 元素的右邻是 $0$ /th 元素)的 最大公约数 (GCD)。

从形式上来说，一个新的数组 $b=[b_0,b_1,\dots ,b_{n-1}]$ 是由数组 $a=[a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}]$ 建立的，其中 $b_i$ 为 $=\gcd (a_i,a_{(i+1)\mathrm{mod}n})$ ， $\gcd (x,y)$ 为 $x$ ， $y$ 为 $x\mathrm{mod}y$ 。 $=\gcd (a_i,a_{(i+1)\mathrm{mod}n})$ ，其中 $\gcd (x,y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的最大公约数，而 $x\mathrm{mod}y$ 是 $x$ 除以 $y$ 的余数。一步建立数组 $b$ ，然后用 $b$ 替换数组 $a$ (即赋值 $a$ 除以 $b$ 的余数)。(即赋值 $a$ := $b$ ）。

例如，如果是 $a=[16,24,10,5]$ 则是 $b=[\gcd (16,24)$ , $\gcd (24,10)$ , $\gcd (10,5)$ , $\gcd (5,16)]$ . $=[8,2,5,1]$ .这样，经过一步后，数组 $a=[16,24,10,5]$ 将等于 $[8,2,5,1]$ 。

对于给定的数组 $a$ ，求所有值 $a_i$ 都相等(即 $a_0=a_1=\cdots =a_{n-1}$ )的最小步数。如果原数组 $a$ 由完全相同的元素组成，则考虑步数等于 $0$ 。

输入格式

第一行包含一个整数 $t$ ( $1\le t\le 10^4$ )。然后是 $t$ 个测试用例。

每个测试用例包含两行。第一行包含一个整数 $n$ ( $2\le n\le 2\cdot 10^5$ ) - 序列长度 $a$ 。第二行包含 $n$ 个整数 $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ ( $1\le a_i\le 10^6$ )。( $1\le a_i\le 10^6$ ).

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $2\cdot 10^5$ 。

输出格式

打印 $t$ 个数字 - 每个测试用例的答案。

解题思路

前置知识

ST表：

• 利用二进制进行跳跃，用于优化时间复杂度（预处理 $n\times \log n$） 查询 $O(1)$；
• 可处理RMQ和GCD问题（重复计算部分无所谓）

正文

由题意可知，经过 $k$ 次变化后 ：
$a_1=\gcd (a_1,a_2\dots \dots a_{k+1\mathrm{mod}n})$
$a_2=\gcd (a_2,a_3\dots \dots a_{k+2\mathrm{mod}n})$
$\dots$
$a_i=\gcd (a_i,a_{i+1}\dots \dots a_{k+i\mathrm{mod}n})$
所以可以将问题转化为：求一个最小的 $k$ 使得 $a$ 中每一个长度大于 $k$ 的区间的 $\gcd$ 为 $\gcd (a_1,a_2,...,a_n)$。

可以发现， $k$ 具有单调性。因为若 $k$ 满足题意，则比 $k$ 大也必定满足题意，因为 $\gcd (a,a)=a$。所以我们考虑二分答案：每次二分出一个 $k$，求出 $a$ 中每个长度为 $k$ 的序列的 $\gcd$，比较是否相等。

现在我们就需要一个快速的算法求 a 中一段子序列的 gcd，所以考虑 ST表。因为 $\gcd (\gcd (a,b),\gcd (a,c))=\gcd (a,b,c)$。

时间复杂度：$O(n\times {\log }^{2}n)$。

AC Code

#include 
using namespace std;
#define int long long
const int Maxn = 2e5 + 10;
int n, a[Maxn];
int lg2[Maxn], ST[Maxn][40];
int ans;

inline void init();

inline void solve();
inline int Binary_search(int n);
inline bool check(int k);
inline int ask(int l, int r);

inline void work() {
	init();
	int T;
	cin >> T;
	while (T--) {
		solve();
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	work();
	return 0;
}

inline void init() {
	for (int i = 2; i < Maxn; i++) {
		lg2[i] = lg2[i >> 1] + 1;
	}
}

inline void solve() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		ST[i][0] = a[i];
	}
	for (int j = 1; j <= lg2[n]; j++) {
		for (int i = 1; i <= (n) - (1 << j) + 1; i++) {
			ST[i][j] = __gcd(ST[i][j - 1], ST[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
		}
	}
	ans = Binary_search(n);
	cout << ans << endl;
}
inline int Binary_search(int n) {
	int l = 1, r = n, mid;
	while (l < r) {
		mid = l + r >> 1;
		if (check(mid)) {
			r = mid;
		} else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	return l - 1;
}
inline int ask(int l, int r) {
	if (l <= n && r > n) {
		return __gcd(ask(l, n), ask(1, r - n));
	}
	int k = lg2[r - l + 1];
	return __gcd(ST[l][k], ST[r - (1 << k) + 1][k]);
}
inline bool check(int k) {
	int t = ask(1, 1 + k - 1);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (ask(i, i + k - 1) != t) {
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

汗流浃背了吧。