信号与系统

信号与系统

信号的分类

确定信号 or 随机信号？

确定信号 :能够写出表达式的信号。

随机信号：通信原理提及。

连续信号 or 离散信号？

连续信号：存在有限第一间断点，对自变量可以得到确定的函数值。矩形信号$R_N(t)$为连续信号，除对称区间幅度为A，其余为0.

离散信号 (序列)：只在某些离散的值有定义。

模拟信号 or 数字信号？

模拟信号：自变量与信号参量取值都连续。

信号参量取值都连续。

数字信号：自变量与信号参量取值都离散。

信号参量取值都离散。<高低电平的转换属于数字信号>

周期信号 or 非周期信号？

连续信号 $f(t)=f(t+mT)$ ,m = 0 ,±1 ，…

连续信号 $f(n)=f(n+mN)$，N为整数

ps:若f₁($\frac{t}{n}$)的周期为T₁,f₂($\frac{t}{n}$)的周期为T₂,则T₁,T₂的最小公倍数T，也是f₁($\frac{t}{n}$)与f₂($\frac{t}{n}$)的和差积商的周期(但不一定是最小正周期)

复信号 or 实信号？

复信号 a+jb 可以用直角坐标系横轴实部竖轴虚部和极坐标极径和幅角$A{e}^{j\theta }$表示,其中
$A=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta =arctan\frac{b}{a}$
其中若a>0,b>0,则在第一象限，依次有

奇信号 or 偶信号？

类比奇函数与偶函数，对任意一个信号，都可以分为奇信号(odd signal)和偶信号(even signal)。
$f(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(t)+f(-t)-f(-t)]=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]+\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]$
即 f(t) = f_e(t) + f_o(t)

奇序列 or 偶序列？

序列同样可以分为奇序列和偶序列,定义与奇信号与偶信号类似，不做赘述。

能量信号 or 功率信号?

连续：能量 ：
$$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t){|}^{2}dt$$

$$E=li{m}_{T->\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t){|}^{2}dt$$

,若$f(x)$为实信号，绝对值取模可以去掉

若采用第一种定义，可以与功率的定义进行对比

功率：
$$P=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t){|}^{2}dt$$

$$P=\frac{1}{T}li{m}_{T->\infty }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t){|}^{2}dt$$

离散：能量：
$$E=li{m}_{N->\infty }\sum _{k=-N}^N|f(k){|}^2$$
​ 功率：
$$P=li{m}_{N->\infty }\frac{1}{2N+1}\sum _{k=-N}^N|f(k){|}^2$$
能量信号：能量有限，功率为0

功率信号：功率有限，能量无穷，e.g.u(t)为功率信号，其功率为0.5

非功率非能量，功率和能量都无穷，例如tu(t)斜坡信号

对于可积信号，若它是时限的，则是能量信号${\int }_a^b有限dt$

e.g.$e^{-|t|}$虽然不是时限信号，但仍是能量信号

对于可积信号，若它是周期且幅度有限的，则是功率信号

e.g噪声信号是功率信号

离散：若序列为有限长序列，则为能量信号

​ 若序列为周奇序列，则为功率信号

信号的性质

信号的运算(加减、乘除同理)

加：

1. 加常数项 相当于交流分量加载一定直流分量

2. 加函数 举个栗子，sin($\pi$t) + sin(4$\pi$t) 的最小正周期是2

乘：

1. 乘函数<调制> 举个例子 sin($\pi$t)* sin(4$\pi$t)

模数转换

a. 理想抽样<离散化> 连续变为离散时间信号
b. 量化，将数据归为特定临近数据
c. 编码，根据标准规约，进行编码

信号的微分和积分

微分

1. 根据表达式求导

2. 看波形求导<斜率>

积分

1. 表达式积分<变上限积分>
2. 分区间积分并合并区间

对信号先求导再积分不一定得到原信号<当信号满足$li{m}_{x->\infty }f(x)=0$>

对信号先积分再求导不一定得到原信号

对应离散情况：

​ 微分 -----> 差分

​ 前向差分$\Delta x(n)=x(n+1)-x(n)$

​ 后向差分▽x(n) = x(n) - x(n - 1)

​ 积分 -----> 累加

​ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt$ ---------> $li{m}_{N->\infty }{\sum }_{k=-N}^{N}f(k)$

反折、移位

a. 反折表示根据y轴对称
b. 移位$t_0,n_0为$正整数，f(t) —> f($t$ - $t_0$) 左加右减
c. 尺度变化 f(t) —> f(at),当a > 1 ，压缩信号，0 < a < 1 扩展信号

i.
当然处于离散序列时，若a = 0.5,需要在奇数点插入零点补定义，也有可能会丢失信息，若a = 2 ,则有些奇数点的信息就会丢失产生失真。$a\ne \frac{1}{m},m为整数$
ii.
注意：所有的变换都是针对t而言
f(t) --> f(at+b)可以先移位，再尺度变换
f(t) <-- f(at+b)可以先尺度变换，再移位
f(ct + d) --> f(at+b)可以根据特殊点的位置进行变化，画图

常见信号

指数信号 [ a > 0 递增,a越大增长速度越大 ，a < 0 递减，a越小增长速度越大]

单边衰减指数信号

连续 f(t) = $K{e}^{at}$

离散$C{a}^n---->C{e}^{\beta n}$

a > 0 : a > 1， 信号递增 ，a < 1 信号递减

a < 0： a < -1 信号交替绝对值增加，a > -1 信号交替绝对值增加

|a| = 1: 存在复数域

正弦信号

二年级的知识告诉我们，$coswt=sin(wt+\frac{\pi }{2})$

$w=2\pi f,数字角频率，\Omega 模拟角频率$

连续 ------(采样)—>离散信号
$$x(n)=x(t){|}_{t=n{T}_s}=sin(\Omega n{T}_s)$$其中$w=\Omega T_s,T_s$为采样周期

w是$\Omega$对$f_s$的归一化，w 是可以连续变化的，但是为了满足奈奎斯特采样定理¹，$w\in (-\pi ,\pi )$，
$$w=\Omega T_s=\Omega \frac{2\pi }{w_s}\le \frac{2\pi }{T_s}$$
同时也要熟练应用 欧拉公式
$e^{jx}=cosx+jsinx$

$e^{-jx}=cosx-jsinx$

可以利用泰勒公式证明

$e^{jx}$以$2\pi$为周期，也称作旋转向量

信号也可以被分为实部与虚部

$f(t)=f_r(t)+j{f}_i(t)$

$f^{\ast }(t)=f_r(t)+j{f}_i(t)$

进行线性组合可以求出 f_r(t) ,f_i(t)

复指数信号

$f(t)=K{e}^{st},s=\sigma +jw$

$e^{st}=e^{\sigma t}\ast e^{jwt}=e^{\sigma t}(coswt+jsinwt)$

$Im[e^{st}]=e^{\sigma t}sinwt$,$Re[e^{st}]=e^{\sigma t}coswt$<$\varphi =0$>

σ > 0 上升 w > 0 逆时针

σ = 0 恒为1 w = 0 不转

σ < 0 下降 w < 0 顺时针

若σ = 0，$e^{st}$为周期信号，且为功率信号

σ ≠ 0，非周期，非功率，非能量信号

区分$e^{j{w}_{0}n}与e^{j{\Omega }_{0}t}$

前者是周期的$e^{j{w}_{0}n}=e^{(j{w}_0+2\pi )n}$,而后者的快慢取决于${\Omega }_0$大小，前者的快慢有

$w_0=0最慢<主振荡>$

$w$