矩阵快速幂 笔记

矩阵的运算

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的集合

加法

矩阵的加法必须保证都是同型矩阵即加减运算行列数都必须一样
矩阵的加法运算满足结合律和交换律：
$A+B=B+A$
$A+(B+C)=(A+B)+C$

减法同理

数乘

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵
即所有元素都乘一遍一个数

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

共轭

矩阵的共轭指的是将一个复数矩阵每个元素的虚部取负，实部则不变

共轭转制

顾名思义，进行共轭和转制

乘法

乘法运算矩阵行数必须等于第二个矩阵的列数

$a行b列的矩阵\times b行c列的矩阵=a行c列的矩阵$

矩阵的乘法满足结合律，不满足交换律
$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$

e.g:
$A\times B=C$

A = (    a 1 a 2          a 3 a 4    ) A=\left( \begin{matrix} ~~a1& a2~~ \\ ~~\\ ~~a3 & a4~~ \end{matrix} \right) A= ​  a1    a3​a2  a4  ​ ​

B = (    b 1 b 2          b 3 b 4    ) B=\left( \begin{matrix} ~~b1& b2~~ \\ ~~\\ ~~b3 & b4~~ \end{matrix} \right) B= ​  b1    b3​b2  b4  ​ ​

则：

C = (    a 1 × b 1 + a 2 × b 3 a 1 × b 2 + a 2 × b 4          a 3 × b 1 + a 4 × b 3 a 3 × b 2 + a 4 × b 4    ) C=\left( \begin{matrix} ~~a1 \times b1+a2\times b3& a1\times b2+a2\times b4~~ \\ ~~\\ ~~a3\times b1+a4\times b3 & a3\times b2+a4\times b4~~ \end{matrix} \right) C= ​  a1×b1+a2×b3    a3×b1+a4×b3​a1×b2+a2×b4  a3×b2+a4×b4  ​ ​

转制

行列互换

【模板】矩阵乘法

题目描述

给定两个矩阵 $a,b$，求矩阵 $c=a\times b$

输入描述

第一行四个整数 $m1,n1,m2,n2$，代表第一个矩阵和第二个矩阵的列数和行数。

接下来 $n1$ 行，每行 $m1$ 个整数，代表第一个矩阵。

之后 $n2$ 行，每行 $m2$ 个整数，代表第二个矩阵。

数据保证 $m1=n2$ 。所有的输入数据不超过 $100$ 。

输出描述

输出 $n1$ 行，每行 $m2$ 个整数，代表矩阵 $c$ 。

样例输入1

2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

样例输出1

8 8
8 8

样例输入2

2 2 2 2
1 2
3 1
2 5
1 7

样例输出2

4 19
7 22

#include
using namespace std;
int n1,m1,n2,m2;
int a[105][105],b[105][105],c[105][105];
void funt(){
	for(int i=1;i<=n1;i++){
		for(int j=1;j<=m2;j++){
			for(int k=1;k<=m1;k++){
				c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&m1,&n1,&m2,&n2);
	for(int i=1;i<=n1;i++){
		for(int j=1;j<=m1;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n2;i++){
		for(int j=1;j<=m2;j++){
			scanf("%d",&b[i][j]);
		}
	}
	funt();
	for(int i=1;i<=n1;i++){
		for(int j=1;j<=m2;j++){
			printf("%d ",c[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
    return 0;
}

【模板】矩阵求和

题目描述

给出两个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，求两个矩阵的和

输入描述

第一行输入两个以空格分隔的整数 $n,m$，表示矩阵的行数和列数，接下来的 $n$ 行，每行 $m$ 个以空格分隔的实数$T1[i][j]$，表示第一个矩阵，接下来的 $n$ 行，每行 $m$ 个以空格分隔的实数 $T2[i][j]$ ，表示第二个矩阵
$1\le n\le 100,1\le m\le 100$
$0\le T1[i][j]\le 1000,0\le T2[i][j]\le 1000$
cout << fixed << setprecision(2) << x; 或者 printf(“%.2lf”,x); 可以用来输出小数 $x$ 并保留两位小数

输出描述

输出 $n$ 行，每行包含 $m$ 个以空格分隔的实数，表示两个矩阵相加的结果
矩阵中的实数都保留 $2$ 位小数

样例输入

2 3
1.1 1.2 1.3
2.1 2.2 2.3
1.1 1.2 1.3
2.1 2.2 2.3

样例输出

2.20 2.40 2.60
4.20 4.40 4.60

#include
using namespace std;
int n,m;
double a[105][105],b[105][105],c[105][105];

void funa(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%lf",&b[i][j]);
		}
	}
	funa();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			printf("%.2lf ",c[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
    return 0;
}

单位元

如果某个元素 $x$ 和其他元素 $y$ 做运算，结果依旧是 $y$ 那么称其为“单位元”
比如：

集合	运算	单位元
实数	+（加法）	0
实数	·（乘法）	1
实数	^（幂）	1（只为右单位元）
矩阵	+（加法）	零矩阵
字串	串接	空字元串
集合M的子集	∩（交集）	M
集合	∪（并集）	{ }（空集）
布尔逻辑	∧（逻辑与）	⊤（真值）
布尔逻辑	∨（逻辑或）	⊥（假值）

单位矩阵

单位矩阵就是矩阵乘法运算的单位元
单位矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素都为 $1$，其他元素都为 $0$

以下是关于矩阵的一些功能的框架

#include
using namespace std;
struct Mat{
    int a[105][105];
    int r,c;
    Mat(int _r=0,int _c=0){
        r=_r,c=_c;
        memset(a,0,sizeof a);
        if(c==0)
        	c=r;
    }
    
    Mat operator*(const Mat t)const{
        Mat ans(r,t.c); 
        int n=r,m=t.c;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                for(int k=1;k<=c;k++)
                    ans.a[i][j]+=a[i][k]*t.a[k][j];
        return ans;
    }
    Mat operator+(const Mat t)const{
        Mat ans(r,c);
        for(int i=1;i<=r;i++)
            for(int j=1;j<=c;j++)
                ans.a[i][j]=a[i][j]+t.a[i][j];
        return ans;
    }
    void unit(){
    	memset(a,0,sizeof a);
    	for(int i=1;i<=r;i++){
    		a[i][i]=1;
		}
	}
	
    void print(){
        for(int i=1;i<=r;i++){
            for(int j=1;j<=c;j++)
                cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        printf("\n");
    }
    Mat operator %(const int t)const{
		Mat ans= *this;
		for(int i=1;i<=r;i++){
			for(int j=1;j<=c;j++){
				ans.a[i][j]%=t;
			}
		}
		return ans;
	}
	Mat ksm(int x,int p){
		Mat ans(r,c),a= *this;
		ans.unit();
		while(x){
			if(x&1){
				ans=ans*a%p;
			}
			a=a*a%p;
			x>>=1;
		}
		return ans%p;
	}
};
int main(){
	
    return 0;
}

斐波那契数列

题目描述

求出 $F_{n}mod10^9+7$ 的值

输入描述

一个正整数 $n(1\le n\le 2^{63}-1)$。

输出描述

输出一行一个整数表示答案。

样例输入1

5

样例输出1

5

样例输入2

10

样例输出2

55

#include
using namespace std;
long long n,mod=1e9+7;
struct Mat{
    long long a[105][105];
    long long r,c;
    Mat(int _r=0,int _c=0){
        r=_r,c=_c;
        memset(a,0,sizeof a);
        if(c==0)
        	c=r;
    }
    Mat operator*(const Mat t)const{
        Mat ans(r,t.c); 
        int n=r,m=t.c;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                for(int k=1;k<=c;k++)
                    ans.a[i][j]+=a[i][k]*t.a[k][j];
        return ans;
    }
    Mat operator+(const Mat t)const{
        Mat ans(r,c);
        for(int i=1;i<=r;i++)
            for(int j=1;j<=c;j++)
                ans.a[i][j]=a[i][j]+t.a[i][j];
        return ans;
    }
    void unit(){
    	memset(a,0,sizeof a);
    	for(int i=1;i<=r;i++){
    		a[i][i]=1;
		}
	}
    void print(){
        for(int i=1;i<=r;i++){
            for(int j=1;j<=c;j++)
                cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        printf("\n");
    }
    Mat operator %(const int t)const{
		Mat ans= *this;
		for(int i=1;i<=r;i++){
			for(int j=1;j<=c;j++){
				ans.a[i][j]%=t;
			}
		}
		return ans;
	}
	Mat ksm(long long x,long long p){
		Mat ans(r,c),a= *this;
		ans.unit();
		while(x){
			if(x&1){
				ans=ans*a%p;
			}
			a=a*a%p;
			x>>=1;
		}
		return ans%p;
	}
};
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	Mat a(2,2),b(2,2);
	if(n<=2){
		printf("1");
		return 0;
	}
	a.a[1][1]=a.a[1][2]=1;
	b.a[1][1]=b.a[1][2]=b.a[2][1]=1;
	b.a[2][2]=0;
	a=a*b.ksm(n-2,mod)%mod;
	printf("%lld",a.a[1][1]);
    return 0;
}

【模板】矩阵加速

题目描述
P1939 矩阵加速（数列）

#include
using namespace std;
long long n,mod=1e9+7;
struct Mat{
    long long a[105][105];
    long long r,c;
    Mat(int _r=0,int _c=0){
        r=_r,c=_c;
        memset(a,0,sizeof a);
        if(c==0)
        	c=r;
    }
    Mat operator*(const Mat t)const{
        Mat ans(r,t.c); 
        int n=r,m=t.c;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                for(int k=1;k<=c;k++)
                    ans.a[i][j]+=a[i][k]*t.a[k][j];
        return ans;
    }
    Mat operator+(const Mat t)const{
        Mat ans(r,c);
        for(int i=1;i<=r;i++)
            for(int j=1;j<=c;j++)
                ans.a[i][j]=a[i][j]+t.a[i][j];
        return ans;
    }
    void unit(){
    	memset(a,0,sizeof a);
    	for(int i=1;i<=r;i++){
    		a[i][i]=1;
		}
	}
    void print(){
        for(int i=1;i<=r;i++){
            for(int j=1;j<=c;j++)
                cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        printf("\n");
    }
    Mat operator %(const int t)const{
		Mat ans= *this;
		for(int i=1;i<=r;i++){
			for(int j=1;j<=c;j++){
				ans.a[i][j]%=t;
			}
		}
		return ans;
	}
	Mat ksm(long long x,long long p){
		Mat ans(r,c),a= *this;
		ans.unit();
		while(x){
			if(x&1){
				ans=ans*a%p;
			}
			a=a*a%p;
			x>>=1;
		}
		return ans%p;
	}
};
int main(){
	int T;
	Mat a(5,5);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n); 
		memset(a.a,0,sizeof(a.a));
		if(n<=3){
			printf("1\n");
			continue;
		}
		a.a[1][1]=1;
	    a.a[3][1]=1;
	    a.a[1][2]=1;
	    a.a[2][3]=1;
		a=a*a.ksm(n,mod)%mod;
		printf("%lld\n",a.a[2][1]);
	}
    return 0;
}