Day41 416分割等和子集 1049最后一块石头的重量 494目标和

416 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

本题是动态规划中01背包的典型问题，具体来说，就是先求出数组总和除以二作为背包的最大容量，之后利用01背包套路往背包里面塞数字，注意因为是为了求和，数字的重量和价值都是他本身nums【i】，其余的按照01背包公式即可：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

1049 最后一块石头的重量

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；

如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

        本题主要是要把石头尽可能分成大小相同的两堆，让重量大的那堆减去重量小的那堆：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector& stones) {
        vector dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

494 目标和

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

建议不懂的同学自己先用二维数组来做，比较好理解，理解了之后再用一维数组。
1. 含义：dp【i】【j】：从下标为【0...i】的物品里任取，填满j这么⼤容积的包，有dp【i】【j】种⽅法
2. 递推式：dp【i】【j】 = dp【i-1】【j】 + dp【i-1】[j-nums【i】]
dp【i-1】【j】是不将物品i放入背包的方式数，dp【i-1】[j-nums【i】]是将物品i放入背包的方式数
3. 初始化：dp【0】【0】 = 1 表示装满容量为0的背包，有1种⽅法，就是装0件物品。
如果nums【0】在范围内的话，dp【0】[nums【0】] = 1
其他全为0

4. 计算顺序：顺序，行优先

大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

dp[j] += dp[j - nums[i]];

如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};