详解最近公共祖先(LCA)

看本博客前建议先看一下ST算法解决RMQ问题详解

一，LCA概念

最近公共祖先(Lowest Common Ancestors, LCA)指 有根树中 距离两个
节点最近的 公共祖先。 祖先指 从当前节点到树根路径上的所有节点。
u和v的公共祖先指 一个节点既是 u的祖先，又是 v的祖先。 u和v的最近公共.
祖先指距离 u和v最近的 公共祖先。若v是u的祖先，则u和v的最近公共祖先是v。

比如:

二，解决方法

1. 暴力搜索法

暴力搜索法有两种:向上标记法和同步前进法。

1-1向上标记法

从u向上一直到根节点，标记所有经过的节点;若v已被标记，则v节点为

LCA(u, v);否则v也向上走，第1次遇到已标记的节点时，该节点为LCA(u, v)。

1-2同步前进法

将u、v中较深的节点向上走到和深度较浅的节点同一深度，然后两个节点

一起向上走，直到走到同一个节点，该节点就是u、v的最近公共祖先，记作

LCA(u,v)。若较深的节点u到达v的同一深度时，那个节点正好是v，则v节点为

LCA(u，v)。

上述2种方法时间复杂度都为O(n)

在这里给出向上标记法的代码

int LCA(int u,int v)
{
  if(u == v) return u;
  flag[u] = 1;
  while(fa[u] != u)
  {//u向上走到根
    u = fa[u];
    flag[u] = 1;
  }
  if(flag[v]) return v;
  while(fa[v] != v)
  {//v向上
    v = fa[v];
    if(flag[v])
    return V;
  }
  return 0;
}

1. 树上倍增法

我们可以设mx[i, j]表示i的2^j辈祖先，即i节点向根节点走2^j步到达的节点。

那么状态转移方程就是

mx[i, j]=mx[mx[i, j-1], j-1]

为什么呢?因为i+2^j不就等于(i+2^(j-1))+2^(j-1)吗?

和前面暴力搜索中的同步前进法一样，先让深度大的节点y向上走到与x同一深度，然后x、y一起向上走。和暴力搜索不同的是，向上走是按照倍增思想走的,每次跳都是2的几次方，不是一步一步向上走的，因此速度较快。（证明:任何十进制都可以转化成二进制,也就是一个一个跳n次也可以转化成跳2^a1+2^a2+……+2^ax次方的形式）

以此题为例:

代码:

#include
#define int long long
using namespace std;
int n,q,u,v;
/*
pre[j]:对于第i条边来说，它的上一条边是哪一条边
now[x]:对于点x来说，最后一条描述它充当父结点的边是哪一条边
son[i]:在第i条边中，充当子结点的点是哪一个
*/
int eg,pre[100001],now[100001],son[100001],deep[100001],mx[1000001][70];
void adeg(int u,int v)
{
  pre[++eg] = now[u];
  now[u] = eg;
  son[eg] = v;
}
void dfs(int u,int fa,int dep)//计算每个点的深度
{
  deep[u] = dep;//节点u的深度为dep
  for(int i = now[u]; i; i = pre[i])
  {
    int v = son[i];
    if(v == fa) continue;
    mx[v][0] = u;//节点v向上跳2^0个位置后节点为u(因为v的父节点就是u)
    dfs(v,u,dep + 1);
  }
}
int lca(int u,int v)
{
  if(deep[u] < deep[v]) swap(u,v);//保证u为u,v中较深的节点
  for(int i = 60; i >= 0; i--)
    if(deep[mx[u][i]] >= deep[v])
      u = mx[u][i];//将u跳到和v同一层
  if(u == v) return u;
  for(int i = 60; i >= 0; i--)//每次u,v同跳2^i
    if(mx[u][i] != mx[v][i])//跳后不能相等,相等的化是公共祖先,但不一定最近
    {
      u = mx[u][i];
      v = mx[v][i];
    }
  return mx[u][0];//u,v都跳到最近公共祖先的下一层,这样再跳一步就是最近公共祖先了
}
signed main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&q);
  for(int i = 1; i < n; i++)
  {
    cin>>u>>v;
    adeg(u,v);
    adeg(v,u);
  }
  dfs(1,0,1);
  for(int j = 1; j <= 60; j++)
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      mx[i][j] = mx[mx[i][j - 1]][j - 1];
  while(q--)
  {
    scanf("%lld%lld",&u,&v);
    printf("%lld\n",lca(u,v));
  }
  return 0;
}

三.结语

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