数据校验-奇偶校验码/海明码/循环冗余码

【前言】

数据在传输的过程中，会受到各种干扰的影响，如脉冲干扰，随机噪声干扰和人为干扰等，这会使数据产生差错。为了能够控制传输过程的差错，通信系统必须采用有效措施来控制差错的产生。

数据在传输过程中传输的都是0和1，传输时有最小的数据单位。A传给B一个数据单位时，B在接收了数据单位时面临两个问题：一是数据单位有没有错误（即检错），二是数据单位如果错了能不能纠正（即纠错）。所以，为了解决这个问题，数据单位中不能全部都是数据本身，还要包含其他帮助检错或纠错的东西，将这个数据单位称为校验码。

如果校验码无错，自然可以从校验码中取出数据。（发送端和接收端会事先约定好校验码中哪些位是数据）如果有错，且不能纠错，那么接收端当前接受的校验码就会被舍弃，请求发送端重传。

【奇偶校验码】

采用奇偶校验方式的校验码被称为奇偶校验码。假设奇偶校验码有n位，其中奇偶校验位占1位，信息位占n-1位。以8bit为例，奇偶校验位占1位且在最高位（在最低位也可），剩下7位为信息位。

奇校验，使得校验码中的1的个数为奇数。偶检验，使得校验码中的1的个数为偶数。

信息位为1001101，有4个1，采用奇校验，应该加个1（即校验位为1），使得校验码的1的个数为奇数。所以，采用奇校验时的校验码为11001101。同样的，采用偶校验时的校验码为01001101.

信息位为101 0111，则奇校验为0101 0111，偶检验为1101 0111

信息位为000 0000，则奇校验为1000 0000，偶校验为0000 0000

下面以奇校验为例。

若是在传输过程中，校验码有一位发生了改变，这个改变可能在信息位，也可能在校验位。注意，改变要么从0变1，要么从1变0。无论哪中改变，校验码中1的个数都会从奇数变为偶数。在接收端，检测接收到的校验码，发现1的个数为偶数，就表明这个数据出错了，也即有了检错能力，但是不能纠错，因为不知道是哪一位出错了。

如果校验码有两位发生改变呢，那么改变后校验码中1的个数仍为奇数，所以这时就不能检错。

对我们来说，是数1的个数来判断校验码是否出错了，对于计算机来说，是通过异或运算来判断1的个数。异或运算，相异为1，相同为0。

采用奇校验时，1的个数为奇数，将校验码的所有位作异或运算，那么得到的结果一定是1。反之，亦成立。

采用偶校验时，1的个数为偶数，将校验码的所有位作异或运算，那么得到的结果一定是0。反之，亦成立。

特点：只能检测奇数个位数改变的出错情况，不能纠错。奇校验不会产生全0校验码。

【海明码】

海明码又被称为汉明码，其实质是多重奇偶校验码。假设信息位有n位，信息位被分成多组，总计k个校验位，对每组进行偶校验。校验位的位置在整个校验码的二的幂次的位置，即1、2、4、8、16等位置处。其中n和k的关系为：

分别代入不同n，可得对应的k为：

以信息位1010为例，n=4,对应的k=3，也即校验码共有7位，校验码的第1、2、4位为校验位。这样得到了校验码的长度和校验位的位置，当前校验码为101？0？？，随后要求校验位的值。注意计算机中低位在右边，高位在左边。

计算第一个校验码时（即第一组），从当前位开始，连续校验1位，跳过1位后，再连续校验1位，再跳过1位······也即选择第1、3、5、7位，其为011？这四位的采用偶校验的时,1的个数应该为偶数（异或运算结果应该为0），所以？=0。

计算第二个校验码时（即第二组），从当前位开始，连续校验2位，跳过2位后，再连续校验2位，再跳过2位······也即选择第2、3、6、7位，其为100？采用偶检验时，？=1。

计算第三个校验码时（即第三组），从当前位开始，连续校验4位，跳过4位后，再连续校验4位，再跳过4位·······也即选择第4、5、6、7位，其为101？采用偶校验时，?=0。

如此，求得了信息位1010的海明码为1010 010

随后要确定这个海明码经过传输后，接收到的数据是否无误，即如何校验海明码。

校验海明码和奇偶校验的方式类似，每组信息中一位是校验位，其他是数据位。

对第一组，通过对第1、3、5、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。

对第二组，通过对第2、3、6、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。

对第三组，通过对第4、5、6、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。

如果所有结果都为0，表明数据无误。如果结果有1，表明有误。也即可以检错。

假设有1位发生了错误，且错误在第6位，则第一组结果为0，第1、3、5、7位没有错误；第二组结果为1，第2或者6位错误；第三组结果为1，第4或者6位错误。可推知，第6位错误。也即有一位的纠错能力。（将三组结果逆序组合，结果为110，表示6，即第6位出错）（再次强调，计算机中高位在左边。）

（可以检错一位的数学证明还不清楚）

假设有2位发生了错误，且错误在第2位和第3位，则第一组结果为1，则第1、3、5、7位中有1位错误；第二组结果为0，没有错误；第三组结果为0，没有错误。因此，可以知道数据有错误，但不知道错误在哪。

特点：具有1位纠错能力和2位检错能力

【循环冗余码校验码CRC】

CRC的基本思想是：在发送端和接收端约定一个除数， 当接收端将校验码进行除法运算后得到的余数为0，则表示校验码无措，否则进行重传或纠错。

校验码包含K个信息位和R个校验位，R为除数的最高次幂，除数通常用一个生成多项式表示，例如生成多项式表示除数为1101，R=3。

假设信息位为101001，则校验码有9位，低三位为校验位，初始值为0，随后用除数进行模2除法获得余数，余数为校验码的值，则校验码为101001 001

假设9位中任意一位发生错误，则都会得到一个确定的余数，当选择合适的生成多项式时，会使得余数各不相同，因此发生错误的位数和余数可以建立一一对应的关系，能进行1位纠错。

CRC是普遍采用的检错方式，其理论上

1）可检测出所有奇数个错误；

2）可检测出所有双比特的错误；

3）可检测出所有小于等于校验位长度的连续错误；

4）以相当大的概率检测出大于校验位长度的连续错误

【参考】

https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%A0%A1%E9%AA%8C

《计算机组成原理》

https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%86%97%E4%BD%99%E7%A0%81