并查集是什么?

并查集

定义:

并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一,主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合,并支持两种操作:

合并(Union):把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询(Find):查询两个元素是否在同一个集合中。

并查集的引入

并查集的重要思想在于,用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻,把集合比喻成帮派,而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻,看看并查集是如何运作的。并查集是什么?_第1张图片
最开始,所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。(对于只有一个元素的集合,代表元素自然是唯一的那个元素)

现在1号和3号比武,假设1号赢了(这里具体谁赢暂时不重要),那么3号就认1号作帮主(合并1号和3号所在的集合,1号为代表元素)。
并查集是什么?_第2张图片
现在2号想和3号比武(合并3号和2号所在的集合),但3号表示,别跟我打,让我帮主来收拾你(合并代表元素)。不妨设这次又是1号赢了,那么2号也认1号做帮主。
并查集是什么?_第3张图片
现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并,江湖局势变成下面这样:
并查集是什么?_第4张图片
现在假设2号想与6号比,跟刚刚说的一样,喊帮主1号和4号出来打一架(帮主真辛苦啊)。1号胜利后,4号认1号为帮主,当然他的手下也都是跟着投降了。
并查集是什么?_第5张图片
好了,比喻结束了。如果你有一点图论基础,相信你已经觉察到,这是一个树状的结构,要寻找集合的代表元素,只需要一层一层往上访问父节点(图中箭头所指的圆),直达树的根节点(图中橙色的圆)即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树:
并查集是什么?_第6张图片

最简单版本并查集

初始化

int fa[MAXN];
void init(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        fa[i] = i;
}

假如有编号为1, 2, 3, …, n的n个元素,我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点(因为每个元素有且只有一个父节点,所以这是可行的)。一开始,我们先将它们的父节点设为自己。

查询

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
        return find(fa[x]);
}

我们用递归的写法实现对代表元素的查询:一层一层访问父节点,直至根节点(根节点的标志就是父节点是本身)。要判断两个元素是否属于同一个集合,只需要看它们的根节点是否相同即可。

合并

void merge(int i, int j)
{
    fa[find(i)] = find(j);
}

合并操作也是很简单的,先找到两个集合的代表元素,然后将前者的父节点设为后者即可。

路径压缩的并查集

合并(路径压缩)

int find(int x)
{
    if(x == fa[x])
        return x;
    else{
        fa[x] = find(fa[x]);  //父节点设为根节点
        return fa[x];         //返回父节点
    }
}

以上代码常常简写为一行:

int find(int x)
{
    return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}

路径压缩优化后,并查集的时间复杂度已经比较低了,绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而,对于某些时间卡得很紧的题目,我们还可以进一步优化。

注:原文还有按秩合并的部分
引用:https://zhuanlan.zhihu.com/p/93647900/

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