并查集是什么？

并查集

定义：

并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

并查集的引入

并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻，看看并查集是如何运作的。
最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）

现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）。

现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。

现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：

现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。

好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：

最简单版本并查集

初始化

int fa[MAXN];
void init(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        fa[i] = i;
}

假如有编号为1, 2, 3, …, n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。

查询

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
        return find(fa[x]);
}

我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

合并

void merge(int i, int j)
{
    fa[find(i)] = find(j);
}

合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。

路径压缩的并查集

合并（路径压缩）

int find(int x)
{
    if(x == fa[x])
        return x;
    else{
        fa[x] = find(fa[x]);  //父节点设为根节点
        return fa[x];         //返回父节点
    }
}

以上代码常常简写为一行：

int find(int x)
{
    return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}

路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。

注：原文还有按秩合并的部分
引用：https://zhuanlan.zhihu.com/p/93647900/