考研数据结构之矩阵压缩存储

矩阵

一、对称矩阵

• 定义：矩阵元素aij = aji;

• 一维数组存储

  
  
  对称矩阵存储方式
  
  

  如图所示，由于对称矩阵的对称性，我们使用二维数组存储，会使得二维数组重复存储一部分数据，我们可以使用逻辑处理来节省这部分重复数据。

• 处理方式
  我们按照行存储来存储三角区域元素, 包含了对角线 ，下三角区域。
• 解决两个问题
  1.存储的数据多大?
  第一行有:1
  第二行有:2
  第三行有:3
  第n行有:n
  总共有:1+2+3+4....+n = (1+n)n/2个元素.
  2.元素aij对应一维数组存储的index是多少？
  i:行，j:列，按行存储 => index =( 1+i-1)(i-1)/2 + j-1 = i(i-1)/2 + j - 1，注意元素从a11开始的。
  3.上三角怎么逻辑处理？
  由于aij = aji => index上三角 = j(j-1)/2 + i -1
  4.总结
  index下三角 =( 1+i-1)(i-1)/2 + j-1 = i(i-1)/2 + j - 1
  index上三角 = j(j-1)/2 + i -1

二、上下三角矩阵

• 下三角矩阵定义： 除了主对角线和下三角区，其余元素都相同

  
  
  下三角矩阵，c为常数

• 解决问题
  1.如何存储常数项,因为数组从零开始所以存储下三角，最后一个元素，索引为(1+n)*n/2 -1，故常数项存储位置为(1+n)*n/2。
  2.如何存储下三角？
  按行存储，和对称矩阵下三角是一样的
  index下三角 =( 1+i-1)(i-1)/2 + j-1 = i(i-1)/2 + j - 1

• 上三角矩阵定义：除了主对角线和上三角区，其余元素都相同。

  
  
  上三角矩阵

• 解决问题
  1.如何存储？

第一行：有n个
第二行：有n-1个
第n行：有1个
总计：(1+n)n/2个，故常数部分存储index为(1+n)n/2

第aij元素存储位置：
index上三角 = (n-(i-1) + 1 + n) * (i-1)/2 + j-i = (2n-i+2)(i-1)/2 + j -i

三、三对角矩阵

• 定义：|i-j| > 1 时，有aij = 0 （i>=1,j<=n）

  
  
  对三角矩阵
• 如何存储
  1.只需要存储带区域中的元素，
  总共有：3*n-2个元素，一共n行，首行末行均为2个。
  2.第aij元素对应的index为？
  index =3*(i-1)-1 + j-i+2 -1 = 2i+j-3
  3.知道数组中索引为k的元素如何推出时aij中的i和j?
  索引为k，对应的是k+1个元素
  第i-1行有3*(i-1)-1个元素
  第i行有3i-1个元素
  3(i-1) < k+1<=3i-1 => i = k+2/3向上取整.
  因为k = 2i+j-3联立可得 j = k-2i +3

四、稀疏矩阵

• 定义： 非零元素远远小于矩阵元素的个数.

  
  
  稀疏矩阵
• 存储方式
  1.三元组<行，列，值> 不支持随机存储
  2.十字链表 支持随机存储.