算法---二分算法

详解二分查找算法

Although the basic idea of binary search is comparatively

straightforward, the details can be surprisingly tricky…

思路很简单，细节是魔鬼。

一：二分法算法分析

1、二分查找算法定义

二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且要用向量作为表的存储结构。

2、基本思想

（1）首先确定该区间的中点位置

（2）将待查的K值与R[mid]比较：若相等，则查找成功并返回此位置，否则须确定新的查找区间，继续二分查找

（3） ① 若R[mid].key>K，将查找区间变为**[left,mid-1]**

​ ②若R[mid].key

3、优缺点

③ 二分查找的优点

折半查找的时间复杂度为O(logn)，远远好于顺序查找的O(n)。

④ 二分查找的缺点

虽然二分查找的效率高，但是要将表按关键字排序。而排序本身是一种很费时的运算。既使采用高效率的排序方法也要花费O(nlgn)的时间。

4、二分查找常用场景

寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。

细节：

​ while循环中的不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。

5、二分查找常用框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节

计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) / 2

二.基本寻找与左右边界

1.寻找一个数（最基本）

搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) { // 注意
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
        }
    return -1;
}

注意点（细节）分析

1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(search space)。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？

当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3. 此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

2、寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意

    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

注意点（细节）分析

1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?**

答：用相同的方法分析，因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空，所以可以正确终止。

2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

3. 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4. 为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

    if (nums[mid] == target)
        right = mid;

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5. 为什么返回 left 而不是 right？

答：返回left和right都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

if (left >= nums.length || nums[left] != target)
    return -1;
return left;

3、寻找右侧边界的二分查找

寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意

注意点（细节）分析

1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

    if (nums[mid] == target) {
        left = mid + 1;

当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

    if (nums[mid] == target) {
        left = mid + 1;
        // 这样想: mid = left - 1

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于target 了，而 nums[left - 1]可能是target。

3. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

三、算法分析总结

先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

第一个，最基本的二分查找算法：

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

**注意注意：

1. 分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

2. 注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

3. 如需要搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。

四、优化简洁思路模板(通用)

1）模板一：用来求左值–右边界更新要向下取整

当我们将区间**[l,r]划分成[l,mid]和[mid+1,r]**时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1，计算mid时不需要加1，即mid = (l + r)/2。

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (r + l)/2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

2）模板二：求右值–左边界更新要向上取整

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1，即mid = ( l + r + 1 ) /2。

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = ( l + r + 1 ) /2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

3）相关问题：

为什么模板要取while( l < r)，而不是while( l <= r)？

本质上取l < r和 l <= r是没有任何区别的，只是习惯问题，如果取l <= r，只需要修改对应的更新区间即可。

while循环结束条件是l >= r，但为什么二分结束时我们优先取r而不是l?

二分的while循环的结束条件是l >= r，所以在循环结束时l有可能会大于r，此时就可能导致越界，因此，基本上二分问题优先取r都不会翻车。

四：力扣经典题分析

• 寻找两个正序数组的中位数 困难
• 搜索旋转排序数组 中等
• 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 中等
• 搜索二维矩阵 中等
• 寻找峰值 中等
• 绝对差值和 中等

33. 搜索旋转排序数组

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

1）题目分析：

旋转数组即原来是一个升序数组，通过几次旋转变成一个新数组。

将数组一分为二，其中一定有一个是有序的，另一个可能是有序，也能是部分有序。
此时有序部分用二分法查找。无序部分再一分为二，其中一个一定有序，另一个可能有序，可能无序。就这样循环. 

2）思路分析：

循环退出条件：转换为寻找一个数条件：left<=right || target=nums[mid]

二分法确定区间，该数组为两个升序数组组合而成，mid可能是第一个升序数组的值也可能是第二个升序数组的值。

通过一分为二只可能有一部分为升序数组，通过确定的一部分来调整区间位置

①：mid是第一个升序数组的值：

​ 判断target：

​ target在mid前面即 nums[0]

​ 其他情况则说明在后面区间为[mid+1,right]

②：mid是第二个升序数组的值:

​ 判断target：

​ target在mid后面即nums[mid]

其他情况说明在前面区间为[left,mid-1]

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        if(nums.length==0){
            return -1;
        }

        int n = nums.length;
        int left = 0;
        int right = n-1;

        if(n==1){
            return nums[0]==target?0:-1;
        }
        
       while(left<=right){
           int mid = (right-left)/2+left;
           if(nums[mid] == target){
               return mid;
           }

            if(nums[0] <= nums[mid]){
                if(target<nums[mid] && target>=nums[0]){
                    right = mid-1;
                }else{
                    left = mid+1;
                }
            }
           else {
               if(target>nums[mid] && target<=nums[n-1]){
                   left = mid+1;
               }else{
                   right = mid-1;
               }
           }

       }
       return -1;
    }
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

1）题目分析：

查找该数的左边界和右边界

2）思路分析：

方法一：

利用左右边界模板进行左右边界查询，在过程中需要判断该数是否存在以及数组是否越界

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        if(nums.length == 0) return new int[]{-1,-1};
        if(nums.length == 1 && nums[0]!=target) return new int[]{-1,-1};
        if(nums.length == 1 && nums[0]==target) return new int[]{0,0};
        int first = -1;
        int last = -1;
        int left = 0;
        int right = nums.length;

        //寻找左边界
        while(left < right){
            int mid = (right - left)/2 +left;
            if(nums[mid] == target){
                right = mid;
            }else if(nums[mid]>target){
                right = mid;
            }else if(nums[mid]<target){
                left = mid+1;
            }
        }
        //一定要判断是否越界
        if(left<nums.length){
            first = nums[left]==target?left: -1;
        }
    

        left = 0;
        right = nums.length;
        //寻找右边界
        while(left < right){
            int mid = (right - left)/2 +left;
            if(nums[mid] == target){
                left = mid+1;
            }else if(nums[mid]>target){
                right = mid;
            }else if(nums[mid]<target){
                left = mid+1;
            }
        }
         //一定要判断是否越界
        if(left>0){
            last = nums[left-1]==target?left-1: -1;
        }
        
        return new int[]{first,last};

    }
}

方法二

较方法一的优点：不需要判断数组越界问题

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        if(nums.length == 0) return new int[]{-1,-1};
    
        int l = 0, r = nums.length - 1; 
         // 模板一：用来求左值--右边界更新要向下取整
        while( l < r)			        //查找元素的开始位置
        {
            int mid = (l + r )/2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if( nums[r] != target) return new int[]{-1,-1}; //查找失败
        int L = r;
        l = 0; r = nums.length - 1;     
        //模板二：求右值--左边界更新要向上取整
        while( l < r)			        //查找元素的结束位置
        {
            int mid = (l + r + 1)/2;
            if(nums[mid] <= target ) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return new int[]{L,r};
    }
}

第一次查找起始位置:

• 1、二分的范围，l = 0， r = nums.size() - 1，我们去二分查找>=target的最左边界。
• 2、当nums[mid] >= target时，往左半区域找，r = mid。

• 3、当nums[mid] < target时， 往右半区域找，l = mid + 1。

• 4、如果nums[r] != target，说明数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。否则我们就找到了第一个>=target的位置L。

第二次查找结束位置：

• 1、二分的范围，l = 0， r = nums.size() - 1，我们去二分查找<=target的最右边界。
• 2、当nums[mid] <= target时，往右半区域找，l = mid。

• 3、当nums[mid] > target时， 往左半区域找，r = mid - 1。

• 4、找到了最后一个<=target的位置R，返回区间[L,R]即可。

74. 搜索二维矩阵

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

• 每行中的整数从左到右按升序排列。
• 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

1）思路分析：

方法一：一行一行往下找

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
        int left = 0;
        int right = col-1;
        int i = 0;
        if(row==1 && col==1){
            return target==matrix[0][0];
        }
        while(i<row){
            int mid = (right - left)/2 + left;
            if(target<matrix[i][left]){
                return false;
            }else if(target>matrix[i][right]){
                i++;
                continue;
            }else{
                while(left<=right){
                    mid = (right - left)/2 + left;
                    if(target==matrix[i][mid]){
                        return true;
                    }if(target<matrix[i][mid]){
                        right=mid-1;
                    }else{
                        left=mid+1;
                    }
            }
            return false;
        }
        }
        return false;
    }
}

方法二：上下同时找 right为最后一个数，先确定行数，在确定列数

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;

        // 第一次二分：定位到所在行（从上往下，找到最后一个满足 mat[x]][0] <= t 的行号）
        int l = 0, r = m - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            //为啥要加1，如果不加1会出现死循环（比如l = 2, r = 3的时候，如果不加1，在满足l = mid的情况下，会一直死循环），要注意二分while条件里 l < r的两种情况 
            if (mat[mid][0] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }

        int row = r;
        if (mat[row][0] == t) return true;
        if (mat[row][0] > t) return false;

        // 第二次二分：从所在行中定位到列（从左到右，找到最后一个满足 mat[row][x] <= t 的列号）
        l = 0; r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mat[row][mid] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        int col = r;

        return mat[row][col] == t;
    }
}

方法三：将二维矩阵转换为一维矩阵

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;
        int l = 0, r = m * n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mat[mid / n][mid % n] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return mat[r / n][r % n] == t;
    }
}

162. 寻找峰值

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

思路分析:

证明 1：对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）

根据题意，我们有「数据长度至少为 1」、「越过数组两边看做负无穷」和「相邻元素不相等」的起始条件。

我们可以根据数组长度是否为 1 进行分情况讨论：

1. 数组长度为 1，由于边界看做负无穷，此时峰值为该唯一元素的下标；

2. 数组长度大于 1，从最左边的元素 **nums[0]**开始出发考虑：

   ​ 如果 nums[0] > nums[1]，那么最左边元素 nums[0] 就是峰值（结合左边界为负无穷）；
   ​ 如果 nums[0] < nums[1]，由于已经存在明确的 nums[0] 和 nums[1]大小关系，我们将nums[0] 看做边界， nums[1] 看做新的最左侧元素，继续往右进行分析：
   ​ 如果在到达数组最右侧前，出现 nums[i] > nums[i + 1]，说明存在峰值位置 i（当我们考虑到nums[i]，必然满足 nums[i] 大于前一元素的前提条件，当然前一元素可能是原始左边界）；
   ​ 到达数组最右侧，还没出现 nums[i] > nums[i + 1]，说明数组严格递增。此时结合右边界可以看做负无穷，可判定nums[n−1] 为峰值。
   综上，我们证明了无论何种情况，数组必然存在峰值。

证明 2 ：二分不会错过峰值

其实基于「证明 1」，我们很容易就可以推理出「证明 2」的正确性。

整理一下由「证明 1」得出的推理：如果当前位置大于其左边界或者右边界，那么在当前位置的右边或左边必然存在峰值。

换句话说，对于一个满足 nums[x] > nums[x - 1] 的位置，x的右边一定存在峰值；或对于一个满足 nums[x] > nums[x + 1]的位置，x 的左边一定存在峰值。

（归纳为爬坡法，往数值大的方向走）

因此这里的「二段性」其实是指：在以 mid为分割点的数组上，根据 nums[mid]与 nums[mid±1] 的大小关系，可以确定其中一段满足「必然有解」，另外一段不满足「必然有解」（可能有解，可能无解）。

至此，我们证明了始终选择大于边界一端进行二分，可以确保选择的区间一定存在峰值，并随着二分过程不断逼近峰值位置。

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid + 1]) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
}

​ 到达数组最右侧，还没出现 nums[i] > nums[i + 1]，说明数组严格递增。此时结合右边界可以看做负无穷，可判定nums[n−1] 为峰值。

综上，我们证明了无论何种情况，数组必然存在峰值。

证明 2 ：二分不会错过峰值

其实基于「证明 1」，我们很容易就可以推理出「证明 2」的正确性。

整理一下由「证明 1」得出的推理：如果当前位置大于其左边界或者右边界，那么在当前位置的右边或左边必然存在峰值。

换句话说，对于一个满足 nums[x] > nums[x - 1] 的位置，x的右边一定存在峰值；或对于一个满足 nums[x] > nums[x + 1]的位置，x 的左边一定存在峰值。

（归纳为爬坡法，往数值大的方向走）

因此这里的「二段性」其实是指：在以 mid为分割点的数组上，根据 nums[mid]与 nums[mid±1] 的大小关系，可以确定其中一段满足「必然有解」，另外一段不满足「必然有解」（可能有解，可能无解）。

至此，我们证明了始终选择大于边界一端进行二分，可以确保选择的区间一定存在峰值，并随着二分过程不断逼近峰值位置。

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid + 1]) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
}