离散数学 第二章 谓词逻辑 2-6 前束范式
在命题演算中，常常要将公式化成规范形式，对于谓词演算，也有类似情况，一个谓词演算公式，可以化为与它等价的范式。
定义2-6。1 一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
前束范式可记为下述形式：
（□v1）（□v2）…（□v4）a，其中□可能是量词 或量词ヨ，vi（i=1，2，3，…，n）是客体变元，a是没有量词的谓词公式。
例如 （"x）（"y）（$z）（q（x，y）®r（z）），（"y）（"x）（øp（x，y）®q（y））等都是前束范式。
定理2-6.1 任意一个谓词公式，均和一个前束范式等价。
证明 首先利用量词转化公式，把否定深入到命题变元和谓词填式的前面，其次利用
（"x）（aúb（x））ûaú（"x）b（x）和（$x）（aùb（x））ûaù（$x）b（x）把量词移到全式的最前面，这样便得到前束范式。
例题1 把公式（"x）p（x）®（$x）q（x）转化为前束范式。
解 （"x）p（x）®（$x）q（x）û （$x）øp（x）ú（$x）q（x）
û（$x）（øp（x）úq（x））
例题2 化公式（"x）("y)(($z)(p(x,y)ùp(y,z))®($u)q(x,y,u))为前束范式。
解 原式û（"x）（"y）（ø（$z）（p（x，z）ùp（y，z））ú（$u）q（x，y，u））
û（"x）（"y）（（"z）（øp（x，z）úøp（x，z））ú（$u）q（x，y，u））û（"x）（"y）（"z）（$u）（øp（x，z）úøp（x，y）úq（x，y，u））
例题3 把公式ø（"x）{（$y）a（x，y）
®（$x）（"y）[b（x，y）ù（"y）（a（y，x）
®b（x，y））]}化为前束范式。
解 第一步否定深入
原式û（$x）ø{ø（$y）a（x，y）ú（$x）（"y）[b（x，y）ù（"y）（a（y，x）®b（x，y））]}
û（$x）{（$y）a（x，y）ù（"x）（$y）[øb（x，y）ú（$y）ø（a（y，x）®b（x，y））]}
第二步改名，以便把量词提到前面。
û（$x）{（$y）a（x，y）ù（"u）（$r）[øb（u，r）ú（$z）ø（a（z，u）®b（u，z））]}
û（$x）（$y）（"u）（$r）（$z）{a（x，y）ù[øb（u，r）úø（a（z，u）®b（u，z））]}
定义2-6.2 一个wff a如果具有如下形式称为前束合取范式。
（□v1）（□v2）…（□vn）[（a11úa12ú…úa1l1）ù（a21úa22ú…úa2l1）ù…ù（am1úam2ú…úaml1）]
其中□可能是量词"或$，vi=（i=1，2，…，n）是客体变元，aij是原子公式或其否定。
例如公式
〔"x〕〔$z〕〔"y〕｛［øpú〔x¹a〕ú〔z=s〕］ù［q（y）ú（a=b）］｝是前束合取范式。
定理2-6.2 每一个wffa都可转化为与其等价的前束合取范式。
我们用一个例子来说明这个定理。
例题4 将wffd：（"x）[p（x）ú（"z）q（z，y）®ø（"y）r（x，y）]化为与它等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
dû（"x）[p（x）ú（"z）q（z，y）®ø（"y）r（x，y）]
第二步换名
dû（"x）[p（x）ú（"z）q（z，y）®ø（"w）r（x，w）]
第三步消去条件联结词
dû（"x）[ø（p（x）ú（"z）q（z，y））úø（"w）r（x，w）]
第四步将ø 深入
dû（"x）[（øp（x）ù（$z）øq（z，y））ú（$w）ør（x，w）]
第五步将量词推倒左边
dû（"x）（$z）（$w）[（øp（x）ùøq（z，y））úør（x，w）]
û（"x）（$z）（$w）[（øp（x）úør（x，w））ù（øq（x，y）úør（x，w）]
定义2-6.3 一个wffa如具有如下形式则称为前束析取范式。
（□v1）（□v2）…（□vn）[（a11úa12ú…úa1l1）ú（a21úa22ú…úa2l1）ú…ú（am1úam2ú…úaml1）]
其中□，vi 与aij 的概念与定义2-6.2中相同。
定理2-6.3 每一个wffa都可以转换为与它等价的前束析取范式。（证明略）
任一个wffa转换为等价的前束析取范式的步骤与例题4类同。