离散数学 第二章 谓词逻辑 2-5 谓词演算的等价式和蕴涵式
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题所取代时，就称作对谓词公式赋值。一个谓词公式经过赋值以后，就成为具有确定真值t或f的命题。
定义2-5.1给定任何两个谓词公式wff a和wff b，设他们有共同的个体域e，若对a和b的任一组变元进行赋值，所得命题的真值都相同，则称谓词公式a和b在e上是等价的，并记作aûb。
定义2-5.2给定任意谓词公式wff a，其个体域为e，对于a的所有赋值，wfffa都为真，则称wff a在e上是有效的（或永真的）。
定义2-5.3一个谓词公式wff a，如果在所有赋值下都为假，则称该wff a为不可满足的。
定义2-5.4一个谓词公式wff a，如果至少在一种赋值下为真，则称该wff a为可满足的。
有了谓词公式的等价和永真等概念，就可以讨论谓词演算的一些等价式和蕴含式。
（1） 命题公式的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元，用同一公式取代时，其结果也是永真公式，我们可以把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴涵公式表都可以推广到谓词演算中使用。例如
("x)(p(x)®q(x))û("x)(øp(x)úq(x))("x)(p(x)ú($y)r(x,y)
ûø(ø("x)(p(x)ùø($y)r(x,y))($x)h(x,y)ùø($x)h(x,y)
ûf
2）量词与联结词┐之间的关系
为了说明这个问题，我们先举例讨论。
例1 设p(x)表示x今天来学校上课，则┐p（x）表示x今天没有来学校上课。
故不是所有人今天来上课与存在一些人今天没有来上课在意义上相同，即┐（"x）p(x) û（ヨx）┐p(x) 。又，不是存在一些人今天来上课与所有的人今天都没有来上课在意义上相同，即┐（ヨx）p(x) û（"x）┐p(x) 。
为此我们得到公式：┐（" x）p(x) û（ヨx）┐p(x)
┐（ヨx）p(x) û（"x）┐p(x)
这里约定，出现在量词之前的否定，不是否定该量词，而是否定被量化了的整个命题。
对于量词的转化律，可在有限个体域上证明。
设个体域中的客体变元为a1,…,an
则ø"xa〔x〕ûø〔a〔a1〕ù…ùa〔ax〕〕
ûøa〔a1〕ú…úøa〔ax〕
û$xøa〔x〕
ø$xa〔x〕ûø〔a〔a1〕ú…úa〔ax〕〕
ûøa〔a1〕ù…ùøa〔ax〕
û"xøa〔x〕
对于无穷个体域的情况，量词转化律也能作相应的推广。
可以看到，当我们将量词前面的┓移到量词的后面去时，存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词，反之，如将量词后面的┓移到量词前面去时，也要作相应的改变，这种量词与┓的关系是普通成立的。
（3）量词作用域中，常有合取或析取项，如果其中为一个命题，则可以将该命题移至量词作用域之外。如：
（"x）（a（x）∨b）û（（"x）a（x）∨b）
（"x）（a（x）∧b）û（（"x）a（x）∧b）
（ヨx）（a（x）∨b）û（（ヨx）a（x）∨b）
（ヨx）（a（x）∧b）û（（ヨx）a（x）∧b）
这是因为在b中不出现约束变元x，故它属于或不属于量词的作用域均有同等意义。
从上述几个式子，我们还可推得如下几个式子。
（"x）（a（x）→b）û（ヨx）（a（x）→b）
（ヨx）（a（x）→b）û（"x）（a（x）→b）
（b→（"x）a（x））û（"x）（b→a（x））
（b→（ヨx）a（x））û（ヨx）（b→a（x））
例2 证明（（"x）a（x）→b）û （ヨx）（a（x）→b）
证明 （"x）（a（x）→b）û ┓（"x）a（x）∨b
û（ヨx）（┓a（x））∨b
û（ヨx）（┓a（x）∨b）
û（ヨx）（a（x）→b）
当谓词的变元与量词的指导变元不同时，亦能有类似于上述的公式。例如
（"x）（p（x）∨q（y））
û（（"x）p（x）∨q（y））（"x）（（"y）p（x，y）∧q（z））
û（（"x）（"y）p（x，y）∧q（z））
（４） 量词与命题联结词之间的一些等价
量词与命题联结词之间存在不同的结合情况，下面举例说明一些等价公式。
例如 联欢会上所有人既唱歌又跳舞和联欢会上所有人唱歌且所有人跳舞。这两个语句意义相同。故有（"x）（a（x）∧b（x））û（"x）（a（x）∧（"x）b（x）
根据上式亦有：
（"x）（┓a（x）∧┓b（x））û（"x）（┓a（x））∧（"x）┓b（x））
故 ┓（ヨx）（a（x）∨b（x））û ┓（（ヨx）（a（x）∨（ヨx）b（x））
即 （ヨx）（a（x）∨b（x））û （ヨx）a（x）∨（ヨx）b（x）
（5）量词与命题联结词之间存在一些不同的结合情况，有些是蕴涵公式。
量词与命题联结词之间存在一些不同的结合情况，有些是蕴涵公式。
例如 这些学生都聪明或这些学生都努力，可以推出这些学生都聪明或努力。但是这些学生都聪明或努力却不能推出这些学生都聪明或这些学生都努力。故有
（"x）a（x）∨（"x）b（x）þ（"x）（a（x）∨b（x））
由上式可得
（"x）（a（x））∨（"x）（┓b（x））þ（"x）（┓a（x）∨┓b（x））
即 ┓（（ヨx）a（x）∧（ヨx）b（x））
þ┓（ヨx）（a（x）∧b（x））
因此有
（ヨx）（a（x）∧b（x）þ（ヨx）a（x）∧ （ヨx）b（x）
类似地有
（"x）（a（x）→b（x））þ（"x）a（x）→（"x）b（x）
（"x）（a（x）«b（x））þ（"x）a（x）«（"x）b（x）
上述这些等价式或蕴涵式，很多可以相互推导，现将常有的式子列入表2-5.1中。
（6）多个量词的使用
为了方便，我们只举两个量词的情况，更多量词的使用方法和它们类似。对于二元谓词如果不考虑自由变元，可以有以下八种情况。
表2-5.1
| e23 |
（ヨx）（a（x）∨b（x））û （ヨx）a（x）∨（ヨx）b（x） |
| e24 |
（"x）（a（x）∧b（x））û （"x）a（x）∧（"x）b（x） |
| e25 |
┓（ヨx）a（x）û（"x）┓a（x） |
| e26 |
┓（"x）a（x）û（ヨx）┓a（x） |
| e27 |
（"x）（a∨b（x））ûa∨（"x）b（x） |
| e28 |
（ヨx）（a∧b（x））ûa∧（ヨx）b（x） |
| e29 |
（ヨx）（a（x）→b（x）û（"x）a（x）→（ヨx）b（x） |
| e30 |
（"x）a（x）→b）û （ヨx）（a（x）→b） |
| e31 |
（ヨx）a（x）→bû（"x）（a（x）→b） |
| e32 |
a→（"x）b（x））û（"x）（a→b（x）） |
| e33 |
a→（ヨx）b（x））û（ヨx）（a→b（x）） |
| i17 |
（"x）a（x）∨（"x）b（x）t（"x）（a（x）∨b（x）） |
| i18 |
（ヨx）（a（x）∧b（x）t（ヨx）a（x）∧ （ヨx）b（x） |
| i19 |
（ヨx）（a（x）→（"x）b（x）t（"x）（a（x）→b（x）） |
（"x）（"y）a（x，y） （"y）（"x）a（x，y）
（ヨx）（ヨy）a（x，y） （ヨy）（ヨx）a（x，y）
（"x）（ヨy）a（x，y） （ヨy）（"x）a（x，y）
（"y）（ヨx）a（x，y） （ヨx）（"y）a（x，y）
例如 设a（x，y）表示x和y同姓，论域x是甲村人，y是乙村的人，则
（"x）（"y）a（x，y）：甲村与乙村所有的人都同姓。
（"y）（"x）a（x，y）：乙村与甲村所有的人都同姓。
显然上述两个语句的含义是相同的。故
（"x）（"y）a（x，y）û（"y）（"x）a（x，y）
同理 （ヨx）（ヨy）a（x，y）：甲村与乙村所有的人都同姓。
（ヨy）（ヨx）a（x，y）：乙村与甲村所有的人都同姓。
这两个语句的含义也相同。故
（ヨx）（ヨy）a（x，y）û（ヨy）（ヨx）a（x，y）
但是，（"x）（ヨy）a（x，y）表示对于甲村所有人，乙村所有人和他同姓。
（ヨy）（"x）a（x，y）表示存在一个乙村的人，甲村的人和他同姓。
（"y）（ヨx）a（x，y）表示对于乙村所有的人，甲村都有人与他同姓。
（ヨx）（"y）a（x，y）表示存在一个甲村的人，乙村的人都和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。具有两个量词的谓词公式，有如下一些蕴涵关系。
（"x）（"y）a（x，y）t（ヨy）（"x）a（x，y）
（"y）（"x）a（x，y）t （ヨx）（"y）a（x，y）
（ヨy）（"x）a（x，y）t（"x）（ヨy）a（x，y）
（ヨx）（"y）a（x，y）t（"y）（ヨx）a（x，y）
（"x）（ヨy）a（x，y）t（ヨy）（ヨx）a（x，y）
（"y）（ヨx）a（x，y）t（ヨx）（ヨy）a（x，y）