对数函数：2011年理数大纲卷题22

对数函数：2011年理数大纲卷题22

（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ；

（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽得的20 个号码互不相同的概率为 . 证明∶.

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【解答问题Ⅰ】

函数 的定义域为

函数解析式可化为：

当 , 函数 单调递增；

所以，. 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

依题意可知，从 100 张卡片中连续抽取20 次，可能得到 种结果；其中每一种出现的机会是均等的。

其中，号码互不相同的结果数量为

所以，概率为

当

所以，

在前节中已经证明：当 时， ；

所以，

所以，

所以
.
证明完毕.

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【提炼与提高】

本题将概率、对数函数、导数和不等式综合在一个大题中，体现了当前高考命题的方向。

本题的另一个特色在于：问题Ⅱ的解答需要用到问题Ⅰ中得出的结论，这体现了对于能力的考查。

学习数学具体学什么？简单说来，就是不断学习新的定理和公式，再用新掌握的公式和定理解决具体问题。

高考的目的是为高校选拨人才。如果一名考生在有限的考试时间内能够迅速地完成一个公式的推导，然后马上使用这个公式解决更多问题，那就表明这名考生不仅掌握了相应的基础知识，而且具备较强的学习能力。

这种『现蒸热卖』的命题风格，是一个科学的方向，在最近十年的高考中经常使用。一定要重视。

从难度来说，本题难度适中，可以作为备考初期的练习，也可以用作同步强化练习。

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