【组合数学】【动态规划】【前缀和】1735生成乘积数组的方案数

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本文涉及知识点

动态规划汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
组合数学

LeetCode1735 生成乘积数组的方案数

给你一个二维整数数组 queries ，其中 queries[i] = [ni, ki] 。第 i 个查询 queries[i] 要求构造长度为 ni 、每个元素都是正整数的数组，且满足所有元素的乘积为 ki ，请你找出有多少种可行的方案。由于答案可能会很大，方案数需要对 109 + 7 取余 。
请你返回一个整数数组 answer，满足 answer.length == queries.length ，其中 answer[i]是第 i 个查询的结果。
示例 1：
输入：queries = [[2,6],[5,1],[73,660]]
输出：[4,1,50734910]
解释：每个查询之间彼此独立。
[2,6]：总共有 4 种方案得到长度为 2 且乘积为 6 的数组：[1,6]，[2,3]，[3,2]，[6,1]。
[5,1]：总共有 1 种方案得到长度为 5 且乘积为 1 的数组：[1,1,1,1,1]。
[73,660]：总共有 1050734917 种方案得到长度为 73 且乘积为 660 的数组。1050734917 对 109 + 7 取余得到 50734910 。
示例 2 ：
输入：queries = [[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5]]
输出：[1,2,3,10,5]
提示：
1 <= queries.length <= 10⁴
1 <= ni, ki <= 10⁴

组合数学

ki 可以表示为 a1ⁿ¹a2ⁿ²…
问题等效于:

• 将n1个a1分配给ni个数。
• 将n2个a2分配给ni个数。
• $\cdots$

2¹⁴> 10⁴。 所以n1最大取值13。

利用动态规划进行预处理

动态规划的状态表示

vCont[i][j] 表示将j个数，分配给i个位置的可能数。

动态规划的转移方程

我们假定最后一个位置选择了0到j个数。
$\sum {}_{k=0}^j$vCount[i-1][j-k]

动态规划的初始值

全为1。

动态规划的填表顺序

i从1到大,j从1到i大。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};


class Solution {
public:
	vector<int> waysToFillArray(vector<vector<int>>& queries) {
		vector < vector<C1097Int<>>> vCount(m_r, vector<C1097Int<>>(m_c, 1));
		for (int r = 2; r < m_r; r++)
		{
			for (int c = 1; c < m_c; c++)
			{
				vCount[r][c] = 0;
				for (int sel = 0; sel <= c; sel++)
				{
					vCount[r][c] += vCount[r - 1][c - sel];
				}
			}
		}
		vector<int> vRet;
		for ( auto v : queries)
		{
			C1097Int biRet=1;
			for (int i = 2; i * i <= v[1]; i++)
			{
				int cnt = 0;
				while (0 == v[1] % i)
				{
					v[1] /= i;
					cnt++;
				}
				biRet *= vCount[v[0]][cnt];
			}
			if (v[1] > 1)
			{
				biRet *= vCount[v[0]][1];
			}
			vRet.emplace_back(biRet.ToInt());
		}
		return vRet;
	}
	int m_r=10000+1, m_c= 14;
};

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	vector<vector<int>> queries;
	{
		Solution sln;
		queries = { {2,6},{5,1},{73,660} };
		auto res = sln.waysToFillArray(queries);
		Assert(res, vector<int> {4, 1, 50734910});
	}
	
	{
		Solution sln;
		queries = { {1,1},{2,2},{3,3},{4,4},{5,5} };
		auto res = sln.waysToFillArray(queries);
		Assert(res, vector<int> {1, 2, 3, 10, 5});
	}
}

利用前缀和优化

class Solution {
public:
	vector<int> waysToFillArray(vector<vector<int>>& queries) {		
		vector < vector<C1097Int<>>> vCount(m_r, vector<C1097Int<>>(m_c, 1));
		for (int r = 2; r < m_r; r++)
		{
			C1097Int biSum = 1;
			for (int c = 1; c < m_c; c++)
			{
				biSum += vCount[r - 1][c];
				vCount[r][c] = biSum;
			}
		}
		vector<int> vRet;
		for ( auto v : queries)
		{
			C1097Int biRet=1;
			for (int i = 2; i * i <= v[1]; i++)
			{
				int cnt = 0;
				while (0 == v[1] % i)
				{
					v[1] /= i;
					cnt++;
				}
				biRet *= vCount[v[0]][cnt];
			}
			if (v[1] > 1)
			{
				biRet *= vCount[v[0]][1];
			}
			vRet.emplace_back(biRet.ToInt());
		}
		return vRet;
	}
	int m_r=10000+1, m_c= 14;
};

2023年2月

class C1097Int
{
public:
C1097Int(int iData = 0) :m_iData(iData)
{

 }
 C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
 {
	 return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod);
 }
 C1097Int&  operator+=(const C1097Int& o)
 {
	 m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod;
	 return *this;
 }
 C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
 {
	 return((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;
 }
 C1097Int&  operator*=(const C1097Int& o)
 {
	m_iData =((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;
	 return *this;
 }
 int ToInt()const
 {
	 return m_iData;
 }

private:
int m_iData = 0;;
static const int s_iMod = 1000000007;
};

int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

class Solution {
public:
vector waysToFillArray(vector& queries) {
m_C.assign(100 * 100 + 1, vector(15, 0));
vector vRet;
for (const auto& v : queries)
{
const int& len = v[0];
int iMul = v[1];
C1097Int may(1);
for (int i = 2; i*i <= iMul; i++)
{
if (0 == iMul%i)
{
int r = 0;
while (0 == iMul%i)
{
iMul /= i;
r++;
}
may *= C(len, r);
}
}
if (iMul > 1)
{
may *= C(len, 1);
}
vRet.push_back(may.ToInt());
}
return vRet;
}
C1097Int C(int iPos, int iNeedSel)
{
if (0 == iNeedSel)
{
return 1;
}
if (0 == iPos)
{
return 0;
}
if (0 != m_C[iPos][iNeedSel].ToInt())
{
return m_C[iPos][iNeedSel];
}
return m_C[iPos][iNeedSel] = C(iPos - 1, iNeedSel) + C(iPos, iNeedSel - 1);
}
vector m_C;
};

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。