笛卡尔坐标系相关概念学习

1D数学

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两千年前，人们为了方便‘’数羊“而发明了自然数。“一头羊”的概念很容易理解，接下来“两头羊”和‘’三头羊“，依次类推。人们很快意思到这样数下去工作量巨大，于是就在某一点放弃计数了，用“很多羊”代替了。不同的文明在不同的计数点放弃计数。随着文明的发展，有些人就开始去思考“数学”概念，此时数学就诞生了。

轴

在数东西的时候，人们很自然的习惯就是把物品横向摆放进行计数，这就导致了数轴概念的产生。

整数

当你劝别人买一头羊，而你手里没有。你可以先谈成这笔买卖，然后再去想办法搞到一头羊。当这笔买卖从开始谈到谈成过程中，其实你的状态是从“0头羊”变成了“-1头羊”。这种情况就导致了整数的产生——自然数和它们相反数（负数）组成。

分数和小数

贫穷致使一部分人只卖得起半只羊，甚至四分之一只羊。于是产生了分数——由一个整数除以另一个整数行为，例如2/3， 1/24。数学家称之为有理数，这个填充上了数轴中，整数与整数之间的空白。为了方便，发明了小数点表示法，用“3.1415”来代替冗长的31415/10000。

无理数和实数

人们后来发现，有些数无法用有理数标示，最典型的就是圆的周长除以圆的直径，这个大家都知道，就是π，这种数字小数点后需要无穷多位，叫做无理数。我们把‘’有理数‘’+‘’无理数‘’统称为‘’实数‘’。

2D数学

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百度图片

这个比较直观就是上学时学习的xy坐标，它有以下两点定义：

• 每个2D坐标系都有一个特殊的点，称作原点，也是坐标系的中心点。
• 每个2D坐标系都有两条过原点的直线向两边无限延伸，称作“轴”。两个轴互相垂直。
  这两点几乎是每个人都知道的，但是当我们进入3D坐标系后，会发现2D坐标系还有很多特性。

2D到3D

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对2D坐标系已经很了解了，来思考一下3D空间。初看起来，3D空间只是比2D空间多一个轴，也就是多了50%复杂度，而事实并非如此。3D中有许多2D没有的概念。当然，也有许多2D概念可以直接引入到3D中。经常在2D中推到，然后扩展到3D中。

第三个维度，第三个轴

左手3D坐标系

我们需要3个轴来表示三维坐标系，前两个轴延续2D坐标系的x轴和y轴，第3个轴叫做z轴。
2D平面中我们指定x轴向右为正、y轴向上为正的坐标系为表针形式，但是3D中并没有这个标准。不同的左右、不同的研究领域使用不同的标准。

左手坐标系和右手坐标系

2D坐标系都是“等价”的，这句话的意思你可以通过旋转或者翻转操作，总能把x轴指向右，y轴指向上。
例如：

旋转180°可以恢复

如图中的坐标系，x向左，y向下。我们只需要旋转180°就可以恢复到标准状态

再比如：如图

以y轴做为翻转轴翻转180°

以y轴为翻转轴，翻转180°可以恢复到标准状态

但是在3D中就不是这个“等价”状态了。3D中有两种完全不同的3D坐标系：左手坐标系和右手坐标系，如果同属于左手坐标系或者右手坐标系，可以通过旋转来重合，否则不可以。

image.png

当一个人站在x轴的正方向看向原点，然后以x轴顺时针旋转yz平面90˚，y轴正方向到达z轴正方向位置，z轴到达y轴负方向位置。

左手坐标系以x轴旋转

右手坐标系正好相反。

左右手坐标系互相转换

最简单的方法是只翻转一个轴的符号，就可以实现左右手坐标系互相装换。如果同时翻转两个轴，结果和不翻转是一样的。

多坐标系

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世界坐标系

是一个特殊的坐标系，它建立了描述其他坐标系所需要的参考框架。从另一个方面说，能够用世界坐标系描述其他坐标系的位置，而不能用更大的、外部的坐标系来描述世界坐标系。

物体坐标系

是和特定物体相关联的坐标系。每个物体都有它们独立的坐标系。当物体移动或改变方向时，和该物体相关联的坐标系将随之移动或改变方向。

摄像机坐标系

与观察者密切相关的坐标系。摄像机坐标系中，x轴向左，y轴向上（不是世界坐标系中的上，而是摄像机本身的上方），z轴方向不确定，有的指向物体，有的是物体指向摄像机，就是一个符号问题。z轴方向这个影响不大，因为摄像机坐标系存在的目的是要与屏幕坐标系互相转换，也就是3D转换2D。

摄像机坐标系

惯性坐标系

为了简化世界坐标系到物体坐标系的转换，人们引入了惯性坐标系这个概念。惯性坐标系的原点与物体坐标系原点重合，但坐标系的轴平行于时间坐标系的轴。

世界坐标系&物体坐标系&惯性坐标系

坐标系转换

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大概流程：
物体坐标系-世界坐标系-观察者坐标系-剪裁坐标-规范化设备坐标-屏幕坐标

坐标系转换流程

其他概念

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视口

通过屏幕能看到的窗口，类似于地图APP，用户通过手机屏幕看到的地图信息，可通过放大缩小地图，来调整视口的可视区域。或者理解成srollview的可视区域。

投影方式

投影方式示意图

投影方式示意图

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本文中部分内容取至《3D数学基础》书籍

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