立体几何之目：2011年理科数学全国卷题18

2011年理科数学全国卷题18 （12 分）

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面

（I）证明∶;

（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.

2011年理科数学全国卷

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【解答第1问】

作 中点 . 并连接 .

∵ , ∴ 是正三角形，, ∴ .

∵ 底面 ，∴ .

∵ , ∴ 平面 .

又∵ 平面 , ∴ .

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【解答第2问】

∵ 平面 , ∴ 二面角 是一个直二面角。

二面角 = 二面角 +

令 , 则 ,

, ,

结论：二面角 的余弦值为 .

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【提炼与提高】

求二面角的大小（或其余弦值、正弦值）是高考中常用的问题。基本思路有二：一是几何法；二是向量法。

几何法又有两种方法，一是寻找二面角的平面角；二是把线段比转化为面积比。

多数教辅书会用向量法解答本题。这里我们用了一种略带技巧性的方法。把二面角 一分为二。其中一个（ ）是直二面角，所以，只要求出二面角 的正弦即可。而这个问题是可以用面积之比来解决的。

本题中值得注意的另外一点是：四棱锥可以拆分为两个四面体：.

四面体 有一个面是等腰三角形，三个面是直角三角形。如果把2007年文数海南卷中的『常用四面体I』从中间一分为二，就成为四面体.

四面体 的四个面都是直角三角形。这样的四面体，中国古人称为：鳖臑。这个模型很有特色，也是高考中常用的。

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