CGAL的多面体凸分解

1、介绍

        对于许多非凸多面体的应用，有高效的解决方案，这些解决方案首先将多面体分解为凸块。例如，可以通过将两个多面体分解为凸块来计算两个多面体的Minkowski和，然后计算凸块的配对Minkowski和，并将配对和结合起来。

        虽然将多面体分解成尽可能少的部分是可取的，但这个问题是NP-hard的。我们的实现将Nef多面体N分解为O(r^2)个凸块，其中r是与多面体内部成大于180度的角的两个相邻面的边数。这些边也被称为反射边。O(r^2)个凸块的上界是最坏情况下的最优解。

 

基于垂直面的插入进行垂直分解（从顶部看）。左图：非凸多面体。中图：非垂直反射边已解决。右图：垂直反射边已解决。子体积是凸的。

        我们的分解分为两个步骤。在第一步中，通过插入垂直面来解析每个非垂直反射边e。在第二步中，我们对垂直反射边做同样的处理。上图说明了这两个步骤。

        目前，我们的实现仅限于对有界多面体的分解。我们计划扩展到无界多面体。 

2、接口和使用

        Nef_polyhedron_3的实例代表三维空间到顶点、边、面和体积的细分。其中一些项目形成了多面体（已选择），而其他项目则表示多面体外围的体积或空洞（未选择）。例如，单位立方体是点集[0,1]3。表示单位立方体的最小细分有8个顶点，12条边，6个面和2个体积。由顶点、边和面围成的体积是立方体的内部，因此已选择。立方体外的体积不属于它，因此未选择。顶点、边和面（也称为边界项）是分隔两个体积所必需的，但也有助于表示拓扑属性。对于封闭的单位立方体，边界项是多面体的部分，因此已选择，但对于开放单位立方体[0,1)3，它们未被选择。每个项目都有自己的选择标记，这允许在布尔和拓扑操作下正确表示Nef多面体。

        通常，Nef_polyhedron_3的实例不包含任何冗余项。但是，convex_decomposition_3()通过选定的面将给定Nef_polyhedron_3的选定体积进行细分。因此，这些额外的面是冗余的，即它们的插入改变了多面体的表示形式，但不影响多面体本身。

        当convex_decomposition_3()解决所有反射边时，已选择的子体积变得凸起。每个子体积由一个单独的体积项表示，因此可以像第Shells部分的描述那样单独遍历。另一种访问凸块的方法是将它们转换为单独的Nef多面体，如以下示例代码所示。

        注意，由于对有界多面体的限制，扩展核的使用是不必要的，而且代价高昂。因此，我们不支持在凸分解中使用扩展核。

3、其他

        CGAL的Nef_polyhedron_3和Polyhedron_3都是表示三维形状的数据结构，但它们在某些方面存在显著差异。

        Nef_polyhedron_3：Nef_polyhedron_3是CGAL库中表示非扩展Nef三维多面体的类。Nef多面体是封闭的，无空洞的多面体，其所有顶点、边和面都位于多面体的边界上。Nef多面体满足一些特定的性质，例如它们是不可压缩的，即不可能通过连续变形（例如挤压或拉伸）来改变其形状而不破坏它。Nef_polyhedron_3特别适用于处理那些需要考虑到拓扑和几何信息的情况，例如布尔运算、碰撞检测等。

        Polyhedron_3：Polyhedron_3是表示任意三维多面体的类。它允许多面体有孔洞，即可以有内部的顶点、边和面。与Nef_polyhedron_3相比，Polyhedron_3提供了更一般的多面体表示。它对于需要表示更广泛类型对象的情况更为合适，如模拟、几何建模等。由于其更一般的性质，与Nef_polyhedron_3相比，Polyhedron_3在某些操作上可能效率较低。

        总结：如果你需要处理封闭、无空洞的多面体，并关心其拓扑性质，那么Nef_polyhedron_3可能是一个更好的选择。如果你需要处理更一般的多面体，或者需要表示有孔洞的多面体，那么Polyhedron_3可能更适合你的需求。

CGAL 5.6 - Convex Decomposition of Polyhedra: User Manual