掌握核心：二进制运算与多进制数相互转换

常用进制数

十进制（D）

十进制是人们日常生活用的最多也最熟悉的一种进位计数制，由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数码组成，基数为10。

十进制的特点是：逢十进一，借一当十

二进制（B)

二进制由0和1两个数码组成，基数为2.

二进制的特点是：逢二进一，借一当二。

其数值的每一位只能取0或1这两个数码之一。

对于十进制而言，1+1=2，而对于二进制来说，1+1=（10）₂

八进制（Q或O）

八进制就是基数为8，由0、1、2、3、4、5、6、7这八个数码组成.

八进制的特点是：逢八进一，借一当八

如果某位为7时，再加上1，则向前进位1，而本位变成0

十六进制（H）

十六进制由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）这十六个数码组成，基数为16。在十六进制中的10~15这六个数用英文字母A~F表示，用这来区分于十进制的数

十六进制的特点：逢十六进一，借一当十六

数制有两种表示方法

• 数字用括号括起来，再加上数制的下标，如(12)₂，（110)₈、（120)₁₀、(568)₁₆

• 用进位制的字母符号B(二进制)、Q或O（八进制）、D（十进制）、H（十六进制）来表示，如110D就表示十进制数110，而不是二进制

进制之间的关系如下

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

二进制数的运算规则

在计算机中，采用二进制数可以非常方便地实现各种算术运算和逻辑运算。关于这优点已经在前面已经介绍过

算术运算规则

加法规则：

• 0+0=0：任何位上两个0相加结果为0
• 0+1=1；1+0=1：任何位上0与1相加结果为1
• 1+1=10（实际上是十进制中的2）：当两个1在同一个位置相加时，会产生一个进位（Carry），向高位有进位。相当于十进制中个位满10向更高位进1，但在二进制中则是满2产生一个进位并把当前位的结果变为0再向左移一位进1

示例：分别计算二进制数1101+1001和1111+1011的结果

减法规则：

• 0-0=0：任何位上0减去0结果为0
• 1-0=1：任何位上1减去0结果仍为1
• 1-1=0：任何位上1减去1结果为0
• 10-1=1：这里意味着二进制的2（即10）减去1（即01），无需借位，结果为1
• 0-1=1（向高位借位后变为补码形式）：在二进制中，直接用0减去1是不可能的，因此需要从高位借位。实际上，在计算机系统中，为了简化负数表示，通常采用补码（Two’s Complement）表示法。当发生这种情况时，不仅当前位置会被翻转（0变成1），而且所有更高位置也会连续借位直到找到一个1可以借或者达到最高位（符号位）。对于单个位的情况，假设允许借位的话，它会从高位借来1，然后进行减法，得到 1 - 1 = 0，

示例：分别计算二进制数1101—1001和1101—1011的结果

在这1101-1011示例中，从最低位开始逐位相减：

1. 最低位：1 - 1 = 0，无需借位。
2. 第二低位：0 - 1，需要向高位借位。但在计算机中，我们采用补码运算，所以这里实际上是将0变为1（因为0的补码为1），同时把高位的1变为0。
3. 高低位：1 - 0 = 1，无需借位。但因第二低位的借位，所以值变为0
4. 最高位（符号位）：在实际计算中，符号位不参与常规的加减运算，它用于表示正负号。

比特位逻辑运算规则

逻辑与运算（AND）：0 Λ 0= 0；0 Λ 1= 0；1 Λ 0 = 0；1 Λ 1 = 1

X	Y	X AND Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

逻辑与运算规则：有0则为0

逻辑或运算（OR）：0 ∨ 0 = 0；0 ∨ 1 = 1；1 ∨ 0 = 1；1 ∨ 1=1

X	Y	X OR Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

逻辑或运算规则：有1则为1

逻辑非运算（NOT）：

X	NOT X
1	0
0	1

逻辑非运算规则：0变1，1变0

逻辑异或运算（XOR）： 0 ⊕ 0 =0; 0 ⊕ 1 = 1;1 ⊕ 0 = 1; 1 ⊕ 1 =0;

X	Y	X XOR Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

逻辑异或运算规则：相同为0，不同为1

示例：分别计算二进制数1101100和1110110进行与（AND)、或（OR）运算的结果

示例：计算二进制数1101100和1110110进行异或（XOR）运算的结果

不同进制数之间的转换

r进制数转换为十进制数

方法：位权展开求和。

先按位权展开，然后按照十进制运算规则进行求和计算，其结果就是转换后对应的十进制数。

(1001.10)₂=1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2=9.5

(230.1)₈=2*8²+3*8¹+0*8⁰+1*8^-1=19

(12A.5)₁₆=1*16²+2*16¹+10*16⁰+5*16^-1=298.3125

十进制数转换为r进制数

十进制数的整数部分和小数部分在转换时需做不同的计算，分别求值后再组合

• 整数部分采用除r取余法，即逐次除以r，直至商为0，得出的余数倒排，即为r进制各位的数码
• 小数部分采用乘r取整法，即逐次乘以r，从每次乘积的整数部分得到r进制数各位的数码，直至小数部分为0，或者满足转换精度要求为止

示例：将十进制数121.3125转换为二进制数

• 首先，先对整数部分121进行转换
  

由这得出：121D=1111001B

• 对小数部分0.3125进行转换、

由该过程得出，0.3125D=0.0101B

将整数和小数部分组合起来得到：121.3125D=1111001.0101B

示例：将十进制数121.3125转换为八进制数

• 首先，先对整数部分121进行转换

由以上过程得出，121D=171Q

• 然后，对小数部分0.3125进行转换

由以上过程得出：0.3125D=0.24Q

将整数部分和小数部分整合起来得出：121.3125D=171.24Q

示例：将十进制数121.3125转换为十六进制

• 首先，先对整数部分121进行转换
  

由以上过程中得出：121D=79H

• 然后，对小数部分0.3125进行转换

由以上过程得出：0.3125D=0.5H

将整数部分和小数部分整合起来得出：121.3125D=79.5H

二进制数、八进制数、十六进制数的相互转换

由于二进制、八进制、十六进制之间存在特殊关系：2³=8¹，2⁴=16¹，即1位八进制数相当于3位二进制数，1位十六进制数相当于4位二进制数，因此通过这关系可以得出以下

二进制数转换成八进制数的方法是：

• 将二进制数从小数点开始,对二进制整数部分向左每3位分成一组，不足3位时向高位补0凑成3位;
• 对二进制小数部分向右每3位分成一组,不足3位的向低位补0凑成3位。每一组中的3位二进制数,分别转换成八进制数码中对应的一个数字,全部连接起来即可。

示例：把二进制数10111101.110转换为八进制数

二进制3位分组	010	111	101.	110
转换为八进制数	2	7	5	6

从这可以得出：10111101.110B=275.6Q

示例：把八进制数52.3转换为二进制数

把每个八进制数字改写成等值的3位二进制数，且保持高低位的次序不变

八进制分组	5	2.	3
转换为二进制数	101	010	011

因此52.3Q=101010.011B

二进制转换为十六进制的方法是：

• 将二进制数从小数点开始,对二进制整数部分向左每4位分成一组，不足4位时向高位补0凑成4位;
• 对二进制小数部分向右从高位向低位每4位分成一组,不足4位的向低位补0凑成4位。每一组中的4位二进制数,分别转换成十六进制数码中对应的一个数字,全部连接起来即可。

示例：将二进制数10110001.101转换为十六进制数

二进制4位分组	1011	0001.	1010
转换为十六进制数	B	1	A

从上面得出：10110001.101B=B1.AH

示例：把十六进制数A2C.8转换为二进制数

把每个十六进制数字改写成等值的4位二进制数，且保持高低位的次序不变

十六进制数	A	2	C.	8
转换为二进制	1010	0010	1100	1000

因此从上面得出：A2C.8=101000101100.1000