2019-02-27 埃及分数 （贪心算法简单示例）

1 . 问题

埃及分数是指分子是1的分数，也叫单位分数。古代埃及人在进行分数运算时。只使用分子是1的分数。因此这种分数也叫做埃及分数，或者叫单分子分数。 [Baidu百科]

给定一个分数，如7/8，我们可以把它表示为1/2 + 1/3 +1/24，埃及分数问题即把一个真分数表示为最少的埃及分数之和的形式。

2. 贪心算法

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解 [Baidu百科]

由于贪心算法的每次都是贪婪选择的特性，我们可以用7/8来举例，小一点的埃及分数是怎么算出来的，你完全可以举例，前提是埃及分数必须要 1/x 的形式。

• 比7/8小一点的埃及分数 是多少，应该是 1/2 （ 4/8），去除1/2后剩3/8。

• 比3/8小一点的埃及分数是 1/3（3/9），去除之后剩 1/ 24 ，得到最终答案。

那么该如何用代码实现呢？

3.如何实现

下面最核心的问题应该是：

如何找到真分数包含的最大埃及分数？

设真分数 a/b ，b 除以 a得整数部分为c，余数部分d。
那么按照数学上的运算，可以得到如下等式：

b = a * c + d _[1]

凭空冒出这么个东西还真不习惯。
拿7/8举例子。a = 7，b = 8
那么 按照[1]式 8 = 7 * 1 + 1

我们对[1]式进行运算，两边同除a，得到[2]式

b / a = (a * c + d) / a _[2]

对[2]式右边进行化简得到[3]

b/a = c + d/a _[3]

由前提条件：d是a得余数，那么a肯定要比d大。（小学数学问题，不啰嗦了）
那么可以得到下面的[4]

b/a = c + d/a < c + 1 _[4]

我们对两边取倒数，即可得到如下的[5] (注意取到数的符号变化)

a/b > 1 / (c + 1)_[5]

已经可以看出 比 a / b 小的埃及分数了，且 1 / （c + 1）一定是 a / b所包含的最大埃及分数。

已经可以证明1/(c +1) 是 a/b的埃及分数了，但为什么说1/(c + 1)是a/b 所包含的最大埃及分数？

其实可以由[4] 得出 a/b = 1 / (c + d/a) ，而d/a 一定小于1，我们要找最大的埃及分数，就要取一个最小的整数分母，而最小（最接近）的整数分母就是 c + 1了，所以1/(c + 1)一定是其包含的最大的埃及分数了

这个思想有点逆乎常人，是一种类似反推的想法，但是知道能算出来就OK了。

下面我们设 e = c + 1(注意，1/e是最大埃及分数)
按照上面我们所说，一个真分数减去它的最大埃及分数。
运算出来就是：

**a/b - 1 /e ** _[6]

我们把它通分。

通分后的结果

我们就可以知道 一个真分数减去一个最大埃及分数之后
原来的a 变成了，a * e - b，原来的b变成了 b * e

那么下面来看看核心代码

       //要求是如果分子大于1就可以拆分
        do {
           e= b/a + 1;     
           System.out.println("1/"+e);

           a = a * e- b;   
           b = b * e;

           int maxDiv = maxComDiv(a,b);
           if(maxDiv > 1){
               a /= maxDiv;
               b /= maxDiv;
           }
        }while (a > 1);

最外层的do-while循环好理解，如果a（分子）不是1，那么就不是埃及分数，就要一直拆分。
拆分的过程我刚才也已经说过了，分为下面3步。

• 找到当前真分数的最大埃及分数
  刚才我们说过，最大的埃及分数是 1/（c + 1）又因为e = c + 1，所以
  1/e = 1 /（c + 1）, 而我们目的是求当前真分数的最大埃及分数，所以也就是求 1/e ，进而推要求e，e = b/a + 1 ，有同学可能会问，d哪里去了。根据[4]式，b/a = e - 1 + d/a == => e = b/a + d/a -1 ,完全不一样啊？
  别忘了我们是在写程序，b/a只会求得正数部分c，而不会求得余数部分d。

按照java得原则，
[1]式 就是 b = a * c
那自然就有 b / a = e - 1
即 e = b / a + 1

那要按照某些不损失精度的语言来说，可就要按照上面走啦。

• 减去最大埃及分数后通分
  上面的通分图片中我们已经看到了， a / b 减去最大埃及分数后通分的样子，所以直接写代码：

  a = a * e- b;   
  b = b * e;

• 约分
  通完分之后又要约分，这是什么操作？
  因为我们不约分就又整出更大的分数来了，这样运算更麻烦，可能还求不出来

经测试，不约分会产生死循环，根本求不出目标答案
约分是怎么个操作，首先找到最大公约数r，然后a/r ，b/r即可完成约分，那么最大公约数必然想到用辗转相除法来求，最后面将补充辗转相除的算法。

下面是全部代码。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

//埃及分数
public class EgyptFraction {
    public static void main(String[] args) throws Exception{
        BufferedReader bufferedReader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        System.out.println("输入分子");
        int a = Integer.parseInt(bufferedReader.readLine());
        System.out.println("输入分母");
        int b = Integer.parseInt(bufferedReader.readLine());   //输入ab

        int e;

        //要求是如果分子大于1就可以拆分
        do {
           e = b/a + 1;
           System.out.println("1/"+e);

           a = a * e - b;
           b = b * e;

           int maxDiv = maxComDiv(a,b);
           if(maxDiv > 1){
               a /= maxDiv;
               b /= maxDiv;
           }
        }while (a > 1);

        System.out.println("1/"+b);
    }

    private static int maxComDiv(int a, int b) {
        int temp = 0;
        while(b != 0){
            temp = a % b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return a;
    }
}

4. 补充- 辗转相除

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