【力扣刷题】【51-100】【动态规划】64. 最小路径和

64. 最小路径和

1.动态规划

• 本题与62. 不同路径、63. 不同路径 II的思路十分类似，依然可以方便的用动态规划的思想解决。究其本质，是因为更靠后的状态，其最优方案，取决于更靠前的两个状态，而与未来的状态无关，抓住这个性质，我们就能很快的理清楚状态转移方程。

• 与前两题类似，维护一个数组$dp[m][n]$，代表到达位置i,j的最小路径和。本题当前状态并非上方、左方数值之和，而是左方、上方更小的一个加上当前位置的数字，状态转移方程为：

  $dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]$

  class Solution {
  public:
      int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
          int m=grid.size(),n=grid[0].size();
          vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n));
          dp[0][0]=grid[0][0];
          for(int i=1;i<n;i++){
              dp[0][i]=dp[0][i-1]+grid[0][i];
          }
          for(int i=1;i<m;i++){
              dp[i][0]=dp[i-1][0]+grid[i][0];
          }
          for(int i=1;i<m;i++){
              for(int j=1;j<n;j++){
                  dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
              }
          }
          return dp[m-1][n-1];
      }
  };
  

2.滚动数组优化

• 和前两题一样，可以使用滚动数组思想减小空间复杂度，不再赘述，做法和上面一样，只是减少了空间使用。

  class Solution {
  public:
      int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
          int m=grid.size(),n=grid[0].size();
          vector<int> dp(n,0);
          dp[0]=grid[0][0];
          for(int i=1;i<n;i++){
              dp[i]=dp[i-1]+grid[0][i];
          }
          for(int i=1;i<m;i++){
              for(int j=0;j<n;j++){
                  if(j>=1){
                      dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])+grid[i][j];
                  }else{
                      dp[j]=dp[j]+grid[i][j];
                  }
              }
          }
          return dp[n-1];
      }
  };