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高代绿皮第四版课后习题复习题一T17

原题

计算下列行列式的值

|A|=\left| \begin{matrix} \sin {​{\theta }_{1}} & \sin 2{​{\theta }_{1}} & \cdots & \sin (n-1){​{\theta }_{1}} \\ \sin {​{\theta }_{2}} & \sin 2{​{\theta }_{2}} & \cdots & \sin (n-1){​{\theta }_{2}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ \sin {​{\theta }_{n}} & \sin 2{​{\theta }_{n}} & \cdots & \sin (n-1){​{\theta }_{n}} \\ \end{matrix} \right|

解析

思路1:

利用棣莫弗公式与二项式展开对比虚部系数得到 \sin{k\theta} 的表达式,具体类似操作见

高代绿皮第四版课后习题复习题一T16-CSDN博客

思路2:

根据积化和差公式

\sin{k\theta}-\sin{(k-2)\theta}=2\sin{\theta}\cos{(k-1)\theta}\,(k\geqslant 2)

故可从后向前依次将

C_{k-2}\times(-1)+C_{k}\,(k=n,n-1,\cdots,3)

利用积化和差公式化简得可提出每行每列的公因式

2^{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n}{\sin{\theta_{i}}}

于是

|A|=2^{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n}{\sin{\theta_{i}}}|B|

其中 |B| 为高代绿皮第四版课后习题复习题一T16-CSDN博客中的行列式,即可求解

参考解题细节:

高代绿皮第四版课后习题复习题一T17_第1张图片

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