2020-05-11 高等数学之映射与函数

映射与函数

映射: 存在两个非空集合X和Y,如果集合X中每个元素x,按照法则f(x)在集合Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为集合X到集合Y的映射。记作:

f:X→Y

y称作元素x在映射f下的像,记作:

y=f(x)

注意

映射的三要素:1.定义域。2.值域。3.法则。在对应法则下,定义域中每个元素 x 在 Y 中有唯一确定的 y 与之对应。

在映射 f 下,x 的像 y 是唯一确定的,而对于值域 Y 中的每个 y 的原像 x 不一定是唯一的

y的原像x可以有多个




x不可以一对多

满射:f是X到Y的映射,Y 中任一元素y都是 X中 x 的某个元素中的像,则称f为 X 到 Y 上的满射

若 X 中任意两个不同元素 x1 ≠ x2,他们的像 f (x1 )≠ f (x2),则称 f 为 X 到 Y 的单射。

若映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 为一 一映射。

映射又称为算子,非空集合 X数集 Y 的映射又称为 X 的泛函

从实数集到实数集的映射,通常称为定义在 X 上的函数。

逆映射和复合映射

函数

y=f(x) , xD , x 为自变量 ,y 为因变量 , D 称为定义域

在函数定义中,对于每个xD,按照对应法则总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x)。

函数是实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此两个函数的定义域 D 相同对应法则 f 也相同,那么两个函数就是相同的,否则就是不同的。

函数 y=的定义域是闭区间,函数 y=的定义域是开区间

我们举例几种函数

函数的几种特性

函数的有界性

函数的单调性

函数的奇偶性

函数的周期性

如果一个函数f(x)的定义域为D,存在一个正数l使得,x+lD,使f(x+l)=f(x)成立 , 则称函数具有周期性,l 为函数的周期。我通常说的函数的周期通常为最小正周期。


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