扒一扒那些叫欧拉的定理们（四）——平面几何欧拉定理美学鉴赏

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上一篇我们聊完了空间立体几何范畴内的欧拉定理及其抽象形式，相关内容回顾请戳：

扒一扒那些叫欧拉的定理们（三）——简单多面体欧拉定理的抽象形式

扒一扒那些叫欧拉的定理们（二）——简单多面体欧拉定理的证明

扒一扒那些叫欧拉的定理们（一）——基本介绍和简单多面体欧拉定理

今天我们接着来欣赏一下在中等数学里的平面几何欧拉定理。

关于平面几何的追忆和思考

记不清何时起爱上的数学，在这个世界里，我一直像搜寻宝藏一样收集着人类的智慧精华，无论是解各种谜题，还是各类数学定理的结论，做出来和证明出来它们都让我觉得安全和舒适。而平面几何的题目和各种定理，应该是这其中非常有代表性和厚度的一部分了。这么多年过去了，我也没忘了当年惊诧到我的梅涅劳斯定理，赛瓦定理，还有各种美极了的海伦公式，斯坦纳定理，维维安尼定理，西姆松定理，九点圆定理等等，而欧拉定理也是其中很典型的一个。

平面几何不像一般的代数，可以有明确的步骤，模式，有些时候，真的需要所谓的灵感来解决。甚至我一度发出疑问，这些平面几何题，做出来都这么艰难，那是怎么被想出来的呢？就像我对魔术也有同样的疑问，这么多魔术的招，看起来表面上毫无逻辑和联系地就存在在那里，是怎么想到的呢？

其实，你想不到不代表没有，任何复杂事物背后一定有某种机理和规律来生成它们，否则就是我们的科学水平目前还达不到而已。这种机理，魔术有，数学也有。在平面几何里，后来读到萧振纲奥林匹克小丛书的《几何变换》，发现原来各种作辅助线，连接，延长，相交，对称，旋转居然都是有章可循的。看起来，通过这些反变换，抹去那些连线，延长线，去掉对称的一半，留下旋转的原始图形，这样就能构成一个个平面几何题了。

当然我的疑问并没有完全解决，我还是惊诧于那些灵感级别的结论，觉得顶层一定还有我没有想到过的抓手。到上大学以后，逐步培养起计算机的思维，让我开始重新审视儿时学过的这些知识。说白了，其实就是数学模型的思维，即，我们人类只需要对对象进行完善的数学模型描述，剩下的计算都应该交给机器去完成，不应该再让我一道题一道题去解了。后来在一些数学软件里还真的发现了这样的功能，我国著名数学家吴文俊先生也是机器自动证明的先驱和代表人物。平面几何自然逃不出这个数学研究的规律，只有上升到模型，甚至代码的级别，才算彻底放心地解决。

灵感很美，但那不过是上帝向你扔出的一颗色子，你得自己做个水银色子，让想出现的那一面，真的每次都出现才算。

当然，并不是说有了机器解，人类自身大脑的训练和智慧就不再需要了。用机器解相当于是用了工具，如果你不是工具发明人，那你也构不成任何贡献，泯然众人。但是，在限定不允许用这些工具情况下的竞技还是人类所热衷的运动，比如围棋早就被Alpha Go攻克，德州扑克也被冷扑大师打败，但丝毫不影响人类依旧热衷着这类游戏，互相拼杀得不亦乐乎。

其实现实世界不会那么绝对，也都在规则范畴内进行，就像不会因为人类打篮球可能必然身体对抗不过钢筋铁骨的机器人和投篮机器，篮球比赛就会无意义一样，有了机器解决方案，人类自身依旧可以参与竞技。本质上，用机器解决问题和人脑是两个层面的竞争，就像两个不同体重级别的举重比赛一样，是没什么关系的。所谓的人机大战，只是很热闹有意思罢了，教机器玩和自己玩，是两种完全不同的竞技内容。

平面几何欧拉定理内容

好了，上面扯得有些远了，我们回到今天要说的平面几何，虽然可能对机器而言有些显然，但其中还是有很多机器并不理解（虽然按它的逻辑也不需要理解）的数学智慧，我们人类自己是可以用得上，是值得拎出来总结和可靠的。因此，我还是无法抗拒平面几何问题的思考中，那种半逻辑，半灵感，靠扎实基础，又有些说不出的经验却总是有效的东西，给人一种犹抱琵琶半遮面，十分想掀开来看看的美好想象。

从本篇开始，我们就来以平面欧拉定理的回顾、赏析和证明来纪念我曾为数学挥洒汗水和热血的青春！

平面几何欧拉定理

如下图所示，三角形外心与内心的距离d可表示为：d ^ 2 = R(R - 2r)，其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。

因为等式左边恒正，因此可以得到欧拉不等式：R > 2r。

（欧拉真是的，到哪都要用自己的名字命名。）

图1 平面几何欧拉定理

平面几何欧拉定理美学鉴赏

平面几何的美，在于其优雅和简洁，但是背后却有完全逻辑化形式化的证明，所谓看起来容易做起来难。能否在纷繁复杂的条件中找到达到终点的路径，并不是一日之功可以完成的。

平面几何欧拉定理就完全诠释了平面几何的优雅简洁，外心和内心是各种几何性质的交汇点，其距离这条线段也必然是。如果这是个正三角形，显然距离为0，R = 2r，这一公式动态来看也可以看作是从正三角形变换到普通三角形的过程中，在r不变的情况下，R是如何变大的同时拉开外心和内心距离的。

和这个定理伴随的，还有两个结论，分别是九点圆定理和其上的欧拉线定理，一个宏伟壮阔，一个保持着小而美的婉约。我们先来欣赏一下这两个结论内容。

九点圆定理

在平面中，对任意三角形，其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，必然共圆，这个圆被称为九点圆，又称欧拉圆、费尔巴哈圆。

图2 九点圆定理

欧拉线定理

在平面几何中，欧拉线，或称尤拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。这四个点共线的结论，我们称为欧拉线定理。

更为神奇的是，其中这个九点圆的圆心还在重心和外心的中点上。

真是性质多了，啥神奇的巧合都有可能发生啊！

图3 欧拉线定理

从下一讲开始，我们将陆续给出这几个定理的证明，让数学之美从感性走向理性，使我们的内心因为数学的流淌而变得充实又美好，敬请期待。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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