信安数基2-同余方程

基本概念及一次同余式

同余式是数论的基本概念之一，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)，或记为a≡b(m)。这个式子称为模m的同余式，若m∤ (a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：
1.a=b+km(k∈Z)；

2.a和b被m除时有相同的[余数]。 同余式的记号由高斯(Gauss,C.F.)于1800年首创,发表在他的数论专著《算术研究》之中。 ^[1]
基本概念
一个整数a被m除时，得到商q1和唯一的一个余数r，另一个整数b也被m除时，得到商q2
，得到的唯一余数r也是，即(其中

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那么我们说a与b对于模m，有同一个余数r，写成

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可以简略地读作：对于模m，a和b同余，其中mod是英文模module的缩写。 ^[2]

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既然是求解同余式，必然会遵循一个基本的操作步骤：
1.判断解是否存在
2.判断解的个数
3.具体求解

一次同余式

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同时解决了判断一次同余式是否有解，和解的个数两个问题。

逆元的概念

逆元的概念
设m是一个正整数，a是一个整数，如果存在整数a’使得
aa’同余a’a同余1（mod m）成立，那么a叫做m的可逆元，a’为a的模m逆元，也可记为a^-1
具体求解过程

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中国剩余定理

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尤其要注意，中国剩余定理要求各个同余式的模数互素，否则不能使用。
那么在做题目的过程中，常常会遇到模数不互素的情况，这是我们应该利用定理将其拆分成模数互素的同余式进行计算。

扩展中国剩余定理（解决模数可不互质的同余方程组）

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解决了不互质问题。
可判断是否有解。
计算过程为中提高了精度。

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高次同余式及其提升

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下图为对上式的推导说明

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推广到高次情形

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高次同余式的提升-具体应用

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总结

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一般二次同余式

二次同余式(quadratic congruence)亦称二次同余方程，是一类同余方程，它是关于未知数的二次多项式的同余方程。二次同余式是研究高次同余式的基础，在密码学中应用很广泛。一般的二次同余式求解问题可以归结到讨论形如x²≡a(mod m)的同余式 ^[1] 。

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勒让德符号

勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数 ^[1] 。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。

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高斯引理

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推论:

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二次互反律

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作用

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推广

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雅克比符号

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解二次同余方程

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二次同余方程例题

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模为奇素数幂的二次同余方程

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例题:

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模为偶素数幂的二次同余方程

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例题

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总结

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