02 排列与组合
苏教版的五上解决问题重点在于搭配问题、暴力枚举问题。而在小学阶段，搭配问题通常只能用最基本的枚举法来求解。但想要做的快速，得先理解加法原理和乘法原理。
加法原理与乘法原理的概念
加法原理和乘法原理可以说的很简单，也可以很复杂。
加法原理实际上就是四个字“任选其一”，乘法原理实际上就是“缺一不可”。
什么意思呢？实际上枚举就是在使用最基本的加法原理。在枚举每种情况之后相加，可以得到最终结果。在这几种方案之中没有任何关联，所以使用加法原理相加。
做一件事情，完成它可能有N类方式，第一类方式有M~1~种方法，第二类方式有M~2~种方法，……，第N类方式有M~n~种方法，那么完成这件事情共有M~1~+M~2~+……+M~n~种方法。
乘法原理理解着就有些复杂，在五年级的枚举中几乎不会用到。
做一件事，完成它可能需要分成n个步骤，做第一步有m~1~种不同的方法，做第二步有m~2~不同的方法，……，做第n步有m~n~不同的方法。那么完成这件事共有 N=m~1~×m~2~×m~3~×…×m~n~ 种不同的方法。 和加法原理是数学概率方面的基本原理。
乘法原理是加法原理的一个推论，令a1，a2，…，ap是对元素a的p个不同的选择。将S划分成部分S1，S2，…，Sp，其中Si是S内第一个元素为ai(i=1，2，…，p)的有序偶的集合。每个Si的大小为q，因此由加法有|S|=|S1|+|S2|+…+|Sp|=q+q+…+q(p个q)=p×q
上述推导用到了整数的乘法就是重复的加法这一事实。
真题理解
卡牌摆数字【乘法原理】
在小学范围内，最经典的乘法原理就是卡牌摆数字了。课本上有一道经典题目。
> 5.用8、2、5这三张数字卡片一共能组成多少个不同的三位数呢？用0、2、5这三张数字卡片呢？动手摆一摆。（五上苏教第97页）
问1
这道题可以按百位、十位和个位进行分类解答。
百位上，有3种可能性：8、2、5
十位上，只有两种可能性，因为百位已经用掉了一个。
个位上，只有一种可能性，因为百位和十位用掉了两个，不能重复。
那么接下来要确定的是，是使用加法原理、乘法原理还是加乘原理。
在分类的过程中，我们把一个数剖析成了百位、十位和个位，他们之间是有直接的关联性的，所以使用乘法原理。
那为什么不是加乘原理呢？因为每个方案都有关联性，并不是有些有关联性有些没有关联性。
列式：3×2×1=6（种）
答：用8、2、5这三张数字卡片一共能组成6种不同的三位数。
问2
这道题仍可以用问1的思路来解答，但是由于有0，解题方法得稍微变化。
使用乘法原理。
2*2*1=4(种)
百位2种可能：5、8
十位两种可能：百位用掉了一个，十位可以用0。
个位一种可能：百位和十位各用掉了一个，只能用剩余的。
最后乘法原理相乘，得出结果4种。
答：用0、2、5这三张数字卡片一共能组成4个不同的三位数。
食物/衣服搭配【乘法原理】
> 学校食堂中午有素菜3种，荤菜2种，如果从中选择素菜和荤菜各一种，有（ ）种不同的搭配方法。(海南海口2021-2022五上第五测试卷）
A.4 B.5 C.6 D.7
这道题的搭配是固定的，必须是一种素菜一种荤菜。
在这道题中，素菜有3种选择，荤菜有2种选择。
两边有直接关联，使用乘法原理相乘。
列式：3×2=6(种)
答案：C
循环比赛【加法原理】or【乘法原理】
> 五年级有六个班参加拔河比赛，每两个班之间都要举行一次比赛，一共要举行多少场比赛？（海南海口2023-2024五上第五测试卷）
加法原理解法
首先可以思考1班打哪些比赛，有5场：1-2,1-3,1-4,1-5,1-6
接下来是2班，只需要考虑4场，因为有一场已经跟1班打过了：2-3,2-4,2-5,2-6
以此类推，最后的算式为5+4+3+2+1。由于这些比赛之间没有关联，用加法原理。
1-2
1-3 2-3
1-4 2-4 3-4
1-5 2-5 3-5 4-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6
乘法原理解法
但这题其实除了加法原理还可以从乘法原理的角度来考虑。
如果按前面的题型【食物/衣服搭配】这一题来看，我们也可以设两个位置，分别代表双方。
但是由于双方交换位置也还是同一场比赛，所以列式为6×5÷2。
文末
搭配组合是比较巧妙的一类题型，更简便的可以用排列数与组合数来解决。
在小学阶段，只需要掌握加法原理和乘法原理就可以做出95%的题目了。
在做题时，要仔细辨析“任选其一”和“缺一不可”，才可以做出题目！
排列组合计算公式如下：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。
排列数：从n个中取m个排一下，有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种，即n!/(n-m)!
组合数：从n个中取m个，相当于不排,就是n!/[(n-m)!m!]
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A（n，m）/m=n！/m（n-m）！。n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，nk这n个元素的全排列数为n！/（n1！×n2！×nk！）。k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C（m+k-1，m）。