09 质数与合数

质数与合数的基本概念

质数与合数是数学上一个很重要的分支。
质数的概念：在大于1的自然数中，只有两个因数的数，叫做质数。
合数的概念：在大于1的自然数中，有两个以上因数的数，叫做合数。

质数的扩展定理（1）

想要将质数与合数这个知识点做好，除了上面的基础概念，还得知道一些理论。

1和0既不是质数也不是合数。
2是唯一的偶质数。
两个质数相加，和不一定是合数（如果质数中有一个2）。
素数是质数的别称。
每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。
2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。

质数的扩展定理（2）

接下来的理论将会使你达到初二的知识面。如果只是想考上90，（1）章的已经足够。
【半素数】：半素数表示两个素数相乘得到的自然数。
【孪(luan二声)生素数】：两个相差2的素数组成的素数对。
【孪生素数猜想】：孪生素数对有无穷多个，具体证明在该网站点我查看王来生孪生素数猜想证明https://wenku.so.com/d/aa3bb0f75b5aacee1d1cf9ec10b804b1。而在后也被证明[p,p+2k]的素数对有无穷多个。
【梅森数】：2p-1,其中p是质数。
【梅森素数】：当梅森数是素数时，称为梅森素数，同时该数也一定是完美数。
【梅森素数猜想】：梅森素数有无穷多个，至今未证明。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是一个数学界至今无法攻破的难题，提到质数就会让人想起它。

哥德巴赫1742年给欧拉的信中提出了以下猜想:任意大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明是对的，于是就写信请教赫赫有名的大数学家一一 欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定。原初猜想的现代陈述为:任意大于5的整数都可写成三个质数之和。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任意充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为"强哥德巴赫猜想"或"关于偶数的哥德巴赫猜想"。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为"哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理"或"三素数定理"。