19世纪初，欧洲数学界已经寻觅了几百年，却仍未找到五次方程的通解。伽罗瓦的一纸证明，泼灭了学界的希望，但也同时拉开了现代代数学的帷幕。
1832 年，自知将死的伽罗瓦奋笔疾书，洋洋洒洒地写了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有 32 页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”。
第二天，他毅然参与决斗并不幸身亡，一个瘦弱却极富激情的天才就这样走了，他才 21 岁！
之后的 14 年里，始终没有人能彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么。包括那个时代最顶尖的数学家、物理学家——高斯、柯西、傅里叶、拉格朗日、雅可比、泊松⋯⋯他们无一人能真正理解伽罗瓦的理论。
谁也没有想到，这个 21 岁毛头小伙子的绝笔理论，开创了现代代数学的先河。
“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类，我相信，这是未来数学的任务。”伽罗瓦留下的这句话，直至今天，仍然像闪电一样划过夜空。
群论：现代代数学的来临
为什么数学家对五次方程如此迷恋？因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。
群论开辟了一块全新的战场，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一个崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
群论的出现，同样奠定了 20 世纪的物理基础。从此，统治人类近 200 年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。
一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般降临，甚至延续至今。如今的物理和数学显然已经无法想象没有群论的日子，算术和拓扑的交融是现代数学中一个极其神秘的现象，伽罗瓦群则在其中扮演着重要的角色。
认真观察伽罗瓦群与拓扑中的基本群，会发现两者十分相似。为了更深入地理解拓扑本质，20 世纪数学界顶级天才格罗滕迪克提出了今天仍然神秘的 Motive 理论，而伽罗瓦的理论在这里可以看作零维的特殊情况。
另一种不同角度的观点则认为，伽罗瓦群（基本群）完全决定了一类特殊的几何对象，这是格罗滕迪克提出的 anabelian 理论。
而在代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，它与“表示论”的融合则是另一个现代数学的宏伟建筑——朗兰兹纲领的梦想，其与上面提到的 Motive 理论也是有机结合在一起的，它们共同构成了我们称之为算术几何领域中壮阔的纲领蓝图。
五次方程：有没有求根公式？
我们重新回到群论源头的那个历史难题：一般的五次方程是否有通用的根式求解？
这本质上涉及的是数学史上最古老也最自然的一个问题：求一元多次方程的根。
早在古巴比伦时期，人们就会解二次方程。任何二次方程 ，现在我们会熟稔地运用其求根公式 进行求解。而三次方程和四次方程的求解，直到 16 世纪中期才被解决，中间跨越了三千多年的悠悠岁月，最后在塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等数学大师的明争暗斗下，三次方程求解公式——卡尔达诺公式诞生。四次方程的求解则比人们预想的要快得多，费拉里十分机智地学会了师傅卡尔达诺的三次方程根式解法，巧用降阶法获得四次方程的根式解法。对此，数学家们野心膨胀，开始相信所有的一元多次方程都能找到相应的求解公式。
然而，就当所有人都认为五次方程的解法会接踵而至时，之后的两百多年间却只有寂静。
最先为五次方程求解提供新思路的是数学界的“独眼巨人”欧拉，他把任何一个全系数的五次方程转化为 的形式。欧拉自认为可以找出五次方程的通解公式，最终却一无所获。
与此同时，数学天才拉格朗日也在废寝忘食地寻找五次方程的通解公式。借鉴费拉里将四次方程降阶为三次方程的历史经验，他如法炮制。遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为了六次方程。
自此，数学家的脚步被五次方程这一关卡死死拦住，寻找一元多次方程通解公式的进展一度陷入迷局。而有关多次方程的争论，当时主要集中在了如下两大问题上。
（1）对 次方程，至少都有一个解吗？
（2） 次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？
数学王子高斯出马了。1799 年，他证明了每个 次方程都有且仅有 个解。于是，他推论出五次方程必然有五个解，但这些解都可以通过公式表达出来吗？
拨开迷雾之后，这个难题仍然浮现在人们眼前，五次方程究竟是否有通解公式的疑问依旧困扰着人类，挥之不去。
一波三折：蒙尘的天才
1824 年，阿贝尔发表了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，首次完整地给出了一般的五次方程用根式不可解的证明，这是人类第一次真正触碰到五次方程求解的真谛。面对这个来自北欧的无名小子，数学家们纷纷摇头，根本不相信这个难题能就此被解答。柯西收到论文后，将此弃之一旁，随意地丢进了办公桌的某个抽屉里；高斯则在轻轻扫了一眼后，只留下一句“这又是哪种怪物？”
尽管这位稀有的天才最终沉疴缠身，因病去世，他的论文却成功揭示了高次方程与低次方程的不同，证明了五次代数方程通用的求根公式是不存在的。阿贝尔的这一证明使数学从此挣脱了方程求解和根式通解的思想束缚，颠覆性地提出，一个通过方程系数的加减乘除和开方来统一表达的根式，并不能用来求解一般的五次方程。
可如何区分、判定哪些方程的解可以用简单的代数公式（系数根式）来表达，哪些方程又不能呢？这一问题，阿贝尔并没有给出完美的答案。直到伽罗瓦横空出世，高次方程的求解才真正坠落凡尘。
1830 年，19 岁的伽罗瓦用一篇论文打开了一个更为广阔的抽象代数世界。他引入了一个新的概念——群，以一种更完整而有力的方式，证明了一元 次方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群（有限群）。
由于一般的一元 次方程的伽罗瓦群是 个文字的对称群 ，而当 时 不是可解群，这就是导致四次方程可解，而五次方程等高次（大于四次）方程不可解的根本原因。
伽罗瓦以绝世才华打开了隐藏几百年的“群论”领域，他兴奋地把他的论文交给了当时的数学大师柯西，结果与阿贝尔得到的待遇并无两样，柯西答应完转眼就忘记了，甚至把伽罗瓦的论文摘要也弄丢了。
伽罗瓦又将方程式论写成三篇文章，自信满满地提交资料参加数学大奖，然而资料被送到傅里叶手中后，傅里叶没多久就去世了，伽罗瓦的论文再次蒙尘。
伽罗瓦在泊松的鼓励下向法国科学院递交了新的论文，两面派的泊松却又说伽罗瓦的理论“不可理解”。年轻气盛、满腹才华的伽罗瓦怒火中烧，觉得数学这个领域没什么意思，当即把全部力量投入政治运动中，且说出“如果需要一具尸体来唤醒人民，我愿意献出我的”这样的激烈言辞。数理领域的顶尖天才变成了新时代的愤青，对世界充满了愤怒。
随后的机缘巧合，让伽罗瓦在政治活动中偶遇了他生命中的女神，并为其神魂颠倒，赴汤蹈火。这是一个有夫之妇的神秘女子，她的丈夫同伽罗瓦的性格如出一辙，狂暴易怒，两人为此争吵决斗。最终，伽罗瓦在决斗中不幸死去。
或许是神灵对伽罗瓦的命运有所愧疚，冥冥中让伽罗瓦在死前整理遗稿，并将成果托付给了他的朋友奥古斯特·谢瓦利埃。朋友不负嘱托，把遗稿寄给了高斯与雅可比，却没有得到回应。到了 1843 年，法国数学家刘维尔慧眼识才，不仅肯定了伽罗瓦的群论思想，还将一元五次方程无解的根本原因公布于众。至此，伽罗瓦的天资与贡献才被世人所知。
伽罗瓦群：代数学新篇章
事实上，当初的阿贝尔和伽罗瓦并没有证明五次多项式方程无解，而是证明了一件更为微妙的事，即假定了这些解的存在，但代数运算操作（加减乘除与开任意次方）都不足以表达这些解。回想一下，前面提到低次方程的解都能只用代数运算操作表达。而在这个证明过程中，伽罗瓦表现出了他的惊世才华，敏锐地洞察到了多项式的解的对称性可以由多项式本身观察到而不必求解，而这一对称性本身完全决定了其解是否存在根号表达式。
以最标准的五次多项式方程为例：
假定这一方程有 共五个根，则原标准的五次多项式的每一个系数都是根的一个对称函数。
通过观察这些公式，伽罗瓦注意到，按任意方式排列这些根，如把 、 对调，并不会改变这一表达式，各项会以不同的方式排列，但总和始终不变。五个数字有 120 种不同的排列方式，因此一个标准的五次多项式有 120 种对称方式。为了描述这种对称性，伽罗瓦创造了群的概念。根据由 120 种排列方式组成的群不允许出现方程要求的塔形子群，伽罗瓦证明出一个有根式解的五次多项式方程可允许的最高排列是 20。
这样，伽罗瓦实际上就解决了阿贝尔没有解决的问题，为确定哪些多项式方程有根式解而哪些没有提供了明确的判别标准。假如现在你面前有一个多项式，它的伽罗瓦群有不超过 20 个元素，那它就有根式解。
发现了伽罗瓦群这一解决五次方程的制胜秘诀后，伽罗瓦继续披荆斩棘，成功地证明了当 时 次交错群是非交换的单群，是不可解的。而一般的 次方程的伽罗瓦群是 次对称群的子群，因而一般五次和五次以上的方程不可能用根式解就是其一个直接的推论。
如果到这里觉得画面还是有些模糊，那我们再详细地解读下。设 是域 上一个不可约多项式，假定它是可分的。作为 的分裂域 ， 对于 的伽罗瓦群实际上就是 的根集上的置换群，而 在 的中间域就对应于解方程 的一些必要的中间方程。方程 可用根式解的充分必要条件是 对于 的伽罗瓦群是可解群。所以当 时 次交错群不可解。
伽罗瓦这套使用群论证明的绝技最终成功破解了方程可解性的奥秘，清楚地阐述了为何高于四次的方程没有根式解，而四次及四次以下的方程有根式解，甚至借此完成了一次纵向穿越，解决了古代三大作图问题中的两个，即“不能三等分任意角”和“倍立方不可能”。
这些都为数学界做出了巨大的贡献，有关“群”“域”等概念的引入更是抽象代数的萌芽。因此，人们将伽罗瓦的成果整理为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展至当代，它已然不负人们的期望，成为当代代数与数论的基本支柱之一，功勋卓越。
法国数学家毕卡在评述 19 世纪的数学成就时，曾如是说：“就伽罗瓦的概念和思想的独创性与深刻性而言，任何人都是不能与之相比的。”回望五次方程问题的解决过程，群论、域论交相辉映，迂回曲折，也难怪当时学界顶级的审评大师们如坠云里雾中。
这场用汗水和生命浇灌出来的理论之花终于在三次方程求解成功的三百多年后绽放，曾经困扰了人类千百年来的高阶谜团也终被伽罗瓦理论一并解答。