刘谦春晚纸牌魔术背后的数学—海明码原理简介

在昨天2024年的春晚舞台上，魔术大师刘谦以一场令人拍案叫绝的纸牌魔术再度震撼全场。他巧妙地利用了数学原理，精准无误地让观众“随机”选择的纸牌完成了配对，尤其是令人忍俊不禁的是主持人尼格买提的纸牌却没有如愿配对，小尼碎了的话题也冲上了今天大年初一的热搜。然而，在这看似神秘莫测的魔术背后，却隐藏着一种在信息科学领域中广泛使用的纠错编码技术，小尼的操作有误，也就让他最后的结果与其他亲身参与的观众不一样了，从某种程度上讲参与者手上的最后半张牌就是一位校验码，查看校验码也就能知道你之前的操作是不是正确。那么现在，我们就从这场精彩的纸牌魔术出发，一同探索海明码等纠错码背后的原理。

• 刘谦魔术背后的约瑟夫问题

刘谦魔术的前几步其实都是个看似建立纸牌随机顺序的过程（但其实还是有序的哈，只是男性与女性的卡牌顺序可能不同），而最后一步“好运留下来烦恼丢出去”恰恰是一个约瑟夫问题，这个弃牌过程保证了无论男女都是留下编号为1的牌，也就正好是能和之前保留半张牌的配对牌。因此探索这个问题，我们先简要介绍一下约瑟夫问题。

约瑟夫问题（Josephus Problem）是一个著名的理论和计算机科学中的数学难题，源于一个关于罗马历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯的传说。故事中，约瑟夫和其他一些人被围困，他们决定通过一种自裁的方式减少人数以求得部分人的生存：他们站成一个圈，并从某个人开始报数，数到特定数值（比如每数到第M个人）时，这个人会被杀掉，然后从下一个人继续报数，直到最后只剩下一个人为止。在现代数学和算法领域中，约瑟夫问题通常形式化为以下描述：

设有N个人排成一个圆圈，从某个位置（例如编号为1的人）开始按顺时针方向报数，每当数到第M个人时，该人会被移出圆圈。接着从下一个未移除的人继续从1开始报数，直至圆圈中只剩余最后一个人。这个问题要求确定的是在给定N和M的情况下，最后幸存下来的人的初始编号是多少。解决约瑟夫问题一般采用递归或迭代的方法。

在刘谦的魔术中，每一张纸牌就如同一个比特位，通过巧妙的设计和预设规则（即海明码的构造原则），使得无论观众如何随机选择，魔术师都能准确判断出原始的信息内容（即选中的纸牌），而主持人出现的操作失误，也让他没有得到预期中的结果，所以从这个角度上看，这个魔术本质上讲其实还是可以等价为一个纠错问题，也就如何在校验位上把数据流中的错误体现出来。

• 海明码简介

在计算机课程，尤其是纠错原理中，我们第一个接触的机制大概就是奇偶校验位，也就是在一段数据流的最后设计一个校验位，如果整个信息流中有奇数个1，那么校验位就是1，如果有偶数个1那么校验位就是0。

海明码是一种基于奇偶校验机制的，用于检测和纠正单个比特错误的线性纠错码，由美国数学家理查德·卫斯里·海明于1950年提出。如同刘谦在表演前对纸牌进行精心设计与安排，海明码通过对数据位增加冗余信息的方式，使得每个数据位都与其他几个数据位之间存在特定的关系，从而能在传输过程中发现并修正单一比特的错误。

我们知道之前很多如串口数据、网络传输包一旦校验失败，则整包重传，而海明码则不需要重传，他可以在添加校验位的情况下，自动找到错误码位置并更正，避免了整包重传的资源浪费情况发生。

而接下来我们就可以回答校验位个数的问题了，由于以16位数据为例，在已知只有一位数据错的情况下，校验位需要表示的情况共有2^4=16种，也就是需要4位表示，而如果是1024位数据，那么需要表示2^10=1024种情况，也就是10位校验位。那么拓展一下如果有两位错呢？那么这种情况下由于两位数据是任意的，从概率上讲是独立事件，校验位翻倍即可。

• 海明码工作原理

1.基于偶校验设计

海明码一般使用偶校验，也就是当参与校验的校验位1的个数为奇数，则校验位为1；反之1的个数为偶数时，则校验位为0。

例子：数据位1111的 偶校验就是 11110

一般来说单纯的我校验只能检测一位数据是否有错，但无法纠错。

如我们刚刚所说，我们的校验位所能表示的情况数量必须大于数据流总长度，也就是2^校验位数 >= 校验位数 + 数据位数 +1

以数据位取4为例，代入可得校验位等于3

2.校验位与数据位的设置

在海明码的数据流中凡是2^n（其中n为正整数）的位置都是校验位，其余都是数据位，以7个bit的数据流为例，如下图：

位置	1	2	3	4	5	6	7
用途	校验位	校验位	数据位	校验位	数据位	数据位	数据位

3.确定校验位的校验范围

接下来需要确认校验位要用来校验哪些数据位。

首先把所有位置的二进制码表示写出来，左补齐至校验位个数，如本例中校验位为3，那么左补0使二进制码长度满3位。

位置	1	2	3	4	5	6	7
用途	校验位	校验位	数据位	校验位	数据位	数据位	数据位
所在位置二进制码	001	010	011	100	101	110	111

其中校验位左边的0是*表示，也就是可以指代任意多个0，右边的0用？表示，即只能代表一个0。如下：

位置	1	2	3	4	5	6	7
用途	校验位	校验位	数据位	校验位	数据位	数据位	数据位
所在位置二进制码	001	010	011	100	101	110	111
校验位通配符表示	*1	*1?		1??

4.确定校验矩阵

接下来将所有数据位按照上述匹配规则进行分组，（其中？代表一位，*代表任意位）。

位置	1	2	3	4	5	6	7
用途	校验位	校验位	数据位	校验位	数据位	数据位	数据位
所在位置二进制码	001	010	011	100	101	110	111
校验位通配符表示	*1	*1?	匹配*1与*1?；即1、2两组	1??	匹配*1与1??；即1、4两组	匹配*1?与1??；即1、4两组	匹配*1、*1?与1??即匹配所有组

纵向的匹配分组如下：

校验位位置	1	2	4
校验位通配符表示	*1	*1?	1??
匹配结果	001（1）	010（2）	100（4）
	011（3）	011（3）	101（5）
	101（5）	110（6）	110（6）
	111（7）	111（7）	111（7）

因此我们可以确定

校验位1 负责校验1、3、5、7四位

校验位2 负责校验2、3、6、7四位

校验位4 负责校验4、5、6、7四位

假如要传递的数据为1110，那么如果进行偶校验，那么这段汉明码应该为1111110

5.纠错过程

我们刚刚也提到了1、2、4三个校验位将全部数据分为三组，那么不论哪一位出错，都可以得校验失败的结论，这个并不难理解。而海明码的纠错原理如下：

位置	1	2	3	4	5	6	7
用途	校验位	校验位	数据位	校验位	数据位	数据位	数据位
所在位置二进制码	001	010	011	100	101	110	111
校验位通配符表示	*1	*1?	匹配*1与*1?；即1、2两组	1??	匹配*1与1??；即1、4两组	匹配*1?与1??；即1、4两组	匹配*1、*1?与1??即匹配所有组
所属分组	1	2	1、2	4	1、4	2、4	1、2、4

然后你会发现有以下几种情况：

• 三组校验全错：首先第7位属于三个组，那么如果三个组都校验失败则可知是第7位错。
• 如果单独一组错这时可知是校验位出错，因为只有校验位自己单独一组。
• 如果两组同时出错，则是两组交叉地带的位置出错，如1、2组都校验错，则是代表第3位即属于1、2组共同校验的位置出错。

而且海明码还有一个快速确定错误位置的算法，

1.分别对每个组校验，通过的记为0，出错的记为1.

2、将校验结果按照组别从大到小排列起来，得到一串1和0的组合。

假如我们刚刚接收的海明码序列为1111111，那么得到的校验结果从大到小排除就是111，这也就对应了出错位置为111二进制码所对应的位置即第7位，

春晚舞台上，刘谦的纸牌魔术吸引了无数观众的目光。他以其出神入化的手法，将普通的纸牌演绎得栩栩如生，仿佛拥有了生命的魔力。这一切的背后，不仅体现了魔术师本人精湛的技艺，更是科技与艺术完美结合的生动展现。海明码的精妙原理，为这场魔术增添了更多的科技色彩，让人们在欣赏艺术的同时，也领略到了科技的神奇魅力。

在这个充满未知的世界里，无论是魔术舞台还是科研前线，人类智慧的火花都将永不熄灭。科技的发展离不开人们的探索与创新，正是这些火花，照亮了我们前行的道路。而对于编码技术来说，未来的创新将不仅仅局限于技术的层面，更将体现在如何更好地服务于人类社会，为信息传输带来更多可能性。

总之，随着科技的发展，未来的编码技术将会更加先进，为我们的生活带来更多便利。而在这一过程中，人类智慧的火花将继续照亮前行的道路，推动科技与艺术的交融，为我们的世界增添更多美好。无论是魔术舞台还是科研前线，我们都将携手共进，不断创新，以迎接更美好的未来。