有心力问题（7）: 轨迹方程积分以及第一定律

开普勒问题主要是探讨微粒在有心平方反比力场中的振荡运动。有心平方反比力场是有心力问题中一类很重要的有心力场，经典力学中最主要的有两个：牛顿万有引力场和库伦力场。

其共同拥有的特点是：

1. 势函数与距离成反比（）

2. 力与距离平方成反比（）

我将重点讨论当微粒之间呈现出吸引力时，振荡运动的轨迹方程的形式。

如果我们使用极坐标，根据定义，径矢由圆心向外指的方向为正，吸引力的方向则为负。因为力的大小与距离平方成反比，路径积分会多出一个负号，再根据势函数的定义，不难得到，势函数该是具有如下形式的函数：

，

对应的力

在极坐标下，微粒的动能具有形式：

我们不妨先找出该系统的运动积分。

拉格朗日函数为：

很明显，它并不显含坐标，因此为循环坐标，，守恒量是角动量。

根据拉格朗日方程，我们有：

守恒量为：

接下来是能量表达式：

利用守恒量的表达式，两边同时平方后代入上式可将消去得到（这样做的具体原因请参考分析力学基本原理介绍7.5：劳斯算法）：

，

于是有：

解:

我们得到第一个运动积分。

再次利用角动量表达式：

替换微分元：，代入先前的能量表达式得到积分：

将有效势能代入积分中：

这个积分的求解关键是将被积函数的分母转化成的形式。

分母配完全平方，我们得到： $\sqrt{2mE - M^2\left( \frac{1}{r^2} - \frac{2m\alpha}{M^2r} + \frac{m^2\alpha^2}{M^4}\right) + \frac{m^2\alpha^2}{M^2}} = \sqrt{2mE - M^2\left(\frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2}\right)^2 + \frac{m^2\alpha^2}{M^2}}$

再合并常数项：

将常数项从根号里提取出来，于是得到：

代入积分中：

$\phi = \int \frac{M/r^2}{\frac{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}{M}\sqrt{1 - \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}}dr = \int \frac{M^2}{r^2\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{M^4\left( \frac{1}{r} - \frac{m\alpha}{M^2} \right)^2}{2mEM^2 + m^2\alpha^2}}}dr$

现在，令，于是有，

带入微分元时，多余的系数刚好全部约掉，最后只剩下积分：

三角代换（推荐用，可将剩下的负号抵消）：

我们总能够选取合适的极轴使得初始角度为零（常数项等于零），于是:

分子分母同时乘以，可将系数消去：

$\cos\phi = \frac{\frac{M^2}{r} - m\alpha}{\sqrt{2mEM^2 + m^2\alpha^2}} = \frac{m\alpha\left(\frac{M^2}{rm\alpha} - 1\right)}{m\alpha\sqrt{\frac{2mEM^2}{m^2\alpha^2} + 1}} = \frac{\frac{M^2}{rm\alpha} - 1}{\sqrt{\frac{2mEM^2}{m^2\alpha^2} + 1}}$

令，

可将表达式改写成：

这是圆锥曲线的极坐标方程，其中被称为半焦弦长，是偏心率，原点位于其中一个焦点，极轴位于轴的正半轴。

因为能量具有形式：，

微粒的动能必须时刻都非负，所以只有的区域才是经典微粒所存在的区域。

我们不妨分析一下有效势能的图像：

，，因此和是两条渐近线。

它与轴只有一个截点：

存在一个驻点：，且位于截点的二倍处。根据定义，有效势关于的一阶导同时也是有效力；二阶导，函数在该驻点取得局部最小值。

所以势能从正无穷处出发，随增大快速减小，穿过轴继续减小，并在处取得局部最小值；之后慢慢增大，从负方向趋近：

有效势能在第一象限的图像

从势函数的图像可以看出，只有当能量为负数时，微粒的运动才可能存在两个转折点（微粒会在这两个转折点之间做有界往返运动），运动轨迹是封闭的曲线。

于是得出结论：

当能量时，偏心率。

直线经过的驻点与其图像相切，转折点重合。

有效力，主动力与离心力等大反向。

轨迹是圆，焦点与原点重合，轨道半径等于驻点所对的值：，同时也等于半焦弦长和半长轴长。

当能量时，偏心率，轨迹是长轴与轴重合的椭圆，坐标原点位于椭圆一侧的焦点上。

近心点和远心点可以通过对方程：求导得到，

他们分别是，

可见，行星的运动轨迹完全由两个半径分别是的圆约束。但在一般的情况下，运动轨迹不一定有界（比如水星的进动），有界运动不等价于封闭轨道。

当能量时，偏心率，轨迹是开口向左的抛物线，坐标原点位于焦点上，行星从无限远处运动至无限远处。

当能量时，偏心率，轨迹是双曲线的一支，左边原点位于同支的焦点上，行星运动无界。

以上即为开普勒第一定律。

如上所述，如果微粒的运动轨迹是圆，它所具有的能量需为，这一结论同样可以由维里定理得到。

当微粒运动轨迹是圆时，其径向速度为零（），所以径向动能，总能量

又因为能量守恒，根据维里定理，对于有心反比力：

所以

于是

代入

便可以得到：

对于椭圆轨道，我们可以证明其长轴长仅完全依赖于能量。该结论在波尔的原子理论中亦拥有同样重要的地位。

根据椭圆的几何特征，我们知道，椭圆两个拱点，之间的距离刚好等于长轴长。从有心力问题（3）我们知道，拱点可由联立能量和有效势得到。话句话说，拱点是方程：

或者

的解。

根据一元二次方程的特点，方程中线性项的系数等于方程两根之和的负数，于是半长轴

当轨道接近圆轨道极限时，拱点重合，，所以

我们又得到了之前由维里定理得到的结论。

使用半长轴，可以将偏心率表示为

做一下变形：

轨道方程变为：

当或时（微粒位于近心点或远心点），我们得到了了近心距和远心距：和。

或者，用半焦弦长表示：

有心力问题（7）: 轨迹方程积分以及第一定律

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