对数函数：2014年文数全国卷A题21

对数函数：2014年文数全国卷A题21

设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 .

（Ⅰ）求 ;

（Ⅱ）若存在 ，使得 ，求 的取值范围.

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【解答问题Ⅰ】

∵

∴

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【解答问题Ⅱ】

根据前节讨论可知：

的取值范围可分以下几种情况讨论：.

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(1) 若 ,

所以，当 .

∴ 满足要求.

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(2) 若 ,

因为 , 所以，对于任意的 , 存在 , 使得

也即：

∴ 满足要求.

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(3) 若 ,

∴ 在 上单调递增；

, 所以，

∴ 在 上 单调递增， 是最小值；

解得：

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有两个零点：

(4) 若 , 则

在 区间内有 , 就是 内的最小值.

解集为 .

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(5) 若 ,

区间的最小值为 , 依题意有：

∵ , ∴

∵ , ∴

解集为空.

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综上所述， 的取值范围如下：

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【提炼与提高】

本题是一个优秀的高考试题. 只要掌握基础知识和基本技能，就可以拿到几分，但想要拿全分却并不容易.

困难主要在两个方面，一是分类讨论，要正确的划分几类情况并不容易；二是针对不同的范围，需要综合多种方法来讨论.

不少同学可能有这种体会：拆开来看，每一段都能看懂，并不高深；自己动手，想要完整地写出来，就是一件困难的事。

这就是能力的体现。不仅要多做题，而且更重要的是：要多思考，多总结。

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