洛谷 P4654 [CEOI2017] Mousetrap 题解
这是一棵无根树，不如我们先指定一个根节点，因为以1号点为根实在是想不到什么性质可以用了。
以老鼠所在节点为根也没有想到什么好性质，那不如就以陷阱房为根罢了。
这样做的话，老鼠想要去陷阱房必须向上走，不管他在哪里。
那么首先我们想一种特殊的情况，就是老鼠就在陷阱房旁边，也就是陷阱房的子节点，与其直接有边相连。
那么老鼠肯定不会向上走，他的最优策略肯定是向下走。
况且，老鼠在没有人清理走廊的情况下是无法走回头路的，所以其唯一能做的事就是找到一个很深很深的链，然后一头钻进去，再也出不来了。
这样的话，管理员必须采取反制措施。
那么现在管理员唯一能做的事，也只有将当前节点的重儿子堵住，才能让老鼠放弃这个决策，转而去次重儿子。
不对，上面还说是链呢，这里怎么就是重儿子了？
因为管理员需要将所有的支链堵住，才能最小化其操作次数；老鼠当然也知道这些，那么其就会向重儿子进发。
原因是这个样子的：
假设这里有一棵树：
其中1号点是陷阱房，也是树根；老鼠一开始在二号房。
老鼠经过一番DFS，已经给每一个边标上了轻重：
现在老鼠已经沿着次重边（2-15-19）到达了最后一个节点，同时管理员也堵上了所有老鼠可能经过的重边（2-4，15-16，19-20），现在他走不动了。
这是当前迷宫中的情况：
假如我们擦干净15-19的话，老鼠就会走到15号点。
现在我们想要让老鼠继续向上到2号点，于是我们擦干净了2-15，然后……
老鼠钻进20号点了啊啊啊啊
如果20号点不是像我们给的图片中的那样光秃秃的，而是有很大的一棵子树（并且不如15和16号点的子树大），那么我们需要费的劲就更大了。
所以我们还需要有一个策略，就是在老鼠不能动的时候堵住所有支链，让老鼠只能沿着当前节点到根的链走。
于是我们堵住了15-20这条边，然后再擦干净2-15让老鼠上去，之后再堵住2-3，让老鼠不得不选择1-2，最后老鼠走到陷阱房，游戏结束。
这是老鼠初始的位置直接连接陷阱房的情况，我们假定了老鼠一开始绝对不会向上走。
那如果老鼠的初始位置不是与陷阱房直接相连呢？
也就是说，我们得考虑老鼠向上走一点，到达另一棵子树之后再一头扎下去的这种情况。
首先我们可以确定一点，就是我们不需要清理老鼠一开始向上走而污染的路径，因为我们在之后把老鼠再次赶上去的时候这里算是一个支链，需要堵住，而不是需要联通。
老鼠也很智能，他想让我们的操作数尽量多。
我们怎样对于一棵子树评估我们的操作数呢？
我们可以定义一个数组 f i f_i fi，代表我们将老鼠赶进 i i i 的子树之后又将其赶到 i i i 所需要的操作数。
老鼠肯定想选 f f f 最大的子树，而我们会将其堵住，所以老鼠实际上选的是次大的子树，然后就这样一直走到底。
现在我们需要找出，哪一棵子树才是老鼠想要去的。
我们总不能枚举所有点，这个复杂度太高。
我们发现这个可以进行二分。
怎么二分呢？
我们可以记录一个 s u m i sum_i sumi，代表 i i i 号节点到根路径上所有支路都被堵上所需要的操作数。
其维护的方式是这样的： s u m x = s u m f a x + s z x − [ x ≠ m ] sum_x = sum_{fa_x} + sz_x - [x \neq m] sumx=sumfax+szx−[x=m]。（根节点就不需要这个了）
其中 s z i sz_i szi 代表的是 i i i 的子树个数，而不是子树大小。
然后我们考虑二分什么。
不用想，肯定是操作数。
假设我们给管理员设定了一个KPI，希望他能够在 k k k 次操作内将老鼠赶到陷阱房。
而老鼠既然已经知道了管理员的这个目标，那么他只需要找到一颗 s u m > k sum > k sum>k 的子树一头钻进去就不需要出来了。
那么管理员就需要将所有 s u m > k sum > k sum>k 的子树封住。同时我们需要注意到封堵这个操作也是需要付出代价的，所以每一次我们封堵的时候 k k k 都需要自减1。
如果管理员的手速不够快，老鼠钻进了一个 s u m > k sum > k sum>k 的子树，那么就宣告失败；
如果管理员封堵太多了，导致 k < 0 k < 0 k<0 了，那也宣告失败；
否则就算成功了。
下面是二分函数：
bool chq(int k)
{
for (int i = m, cnt = 1; i != rt; i = fa[i], cnt++)
{//向上遍历到根
int tmp = 0;
for (int j = h[i]; ~j; j = ne[j])
{//枚举子节点
int v = e[j];
if (vis[v] || //会被老鼠弄脏，不需要堵
sum[i] + f[v] <= k)//不会超出目标，暂时不需要堵
continue;
if (!cnt)return false;//管理员的手速不够快
tmp++;
cnt--;
}
k -= tmp;
}
return k >= 0;//需要封堵的太多了
}
至此，所有的东西我们就都分析完了。
示例代码：
#include