面试算法--【动态规划】LCS算法：求两字符串最大公共字符串（不连续）

一、动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

二、问题：求两字符序列的最长公共字符子序列（LCS）

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

三、分析

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

• （1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

• （2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

• （3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

四、求解

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

图片.png

图片.png

example：

public class WDLCS {
    public int findLCS(String A, String B) {
        int n = A.length();
        int m = B.length();
        char[] a = A.toCharArray();
        char[] b = B.toCharArray();
        int[][] dp = new int[n][m];
        for (int i = 0; i < n; i++) {//第一列
            if (a[i] == b[0]) {
                dp[i][0] = 1;
                for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                    dp[j][0] = 1;
                }
                break;
            }
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {//第一行
            if (a[0] == b[i]) {
                dp[0][i] = 1;
                for (int j = i + 1; j < m; j++) {
                    dp[0][j] = 1;
                }
                break;
            }
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                if (a[i] == b[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        WDLCS lcs = new WDLCS();
        //int findLCS = lcs.findLCS("object", "wdobject");
        int findLCS = lcs.findLCS("object", "wobjedct");
        System.out.println("最长子序列长度：" + findLCS);
    }
}