高中奥数 2021-08-22

2021-08-22-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P019 例10）

在平面上给定四个点、、、,其中任意三点不共线,使得.

记是的外心,这里.假设对每个下标,都有.证明:四条直线共点或平行

证明

图1

如图,若、、、构成一个凹四边形.

不妨设在中,如图.

作,则.

于是,,且.

则,因此.

即.

又,则

.

因此,,即是正三角形.

故.

同理,

,

.

设,,.

则,,.

图2

又如图,因为是的外心,所以,.于是,.

同理,,.

又,则.

同理,,.

由角元塞瓦定理得

.

因为,所以

同理,

,

.

故.

因此、、三线共点(或者互相平行).

若四个点、、、构成一个凸四边形,类似可得、、三线共点(或者互相平行).

同理,、、三线共点(或者互相平行).

综上,四条直线共点或平行.