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第6课列空间和零空间

矩阵的列空间

矩阵的零空间

子空间: 2个子空间，一个平面P,一个直线L。

所有在或者或者两者的向量，这些不属于子空间。

即在又在上的向量集合，该属于子空间。

子空间条件：

向量加法，
向量数乘，
合起来构成线性组合
必须封闭的运算

列空间：记作

，向量列一，向量列二，向量列三，三个向量构不成向量空间，需要进行扩充成子空间，取线性组合即可。

三个四维向量的线性组合不等于整个四维空间，它只是一个较小的空间，这空间有多少？

需要同线性方程组联系起来。

抽象的定义背后，有实际目的，是为了深刻认识

对任意右侧向量是否都有解？NO.

什么样的b使方程组有解？

只有b是各列的线性组合时才有解，这时b在列空间内。

$\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\\ x_1=1,x_2=0,x_3=0,b=1,2,3,4\\ x_1=0,x_2=1,x_3=0,b=1,1,1,1\\ x_1=0,x_2=0,x_3=1,b=2,3,4,5$

列三=列一+列二，在列一与列二构成的平面上，没有任何贡献，可以说这是“线性相关”，因此列三可以去掉，因此矩阵的列空间可以描述为中的二维子空间。

的零空间，记作

向量包含三个分量，因此零空间是的子空间，列空间是的子空间

求列空间和零空间的一般方法是消元。

如何知道零空间是向量空间的？为什么它能称作“空间”？

检验：的解构成一个子空间。（构筑子空间的两种方法）

如果所以

在零空间，在零空间，那么也在零空间。

如果

所有解是否还构成子空间？NO

因为0不是的解，所以构不成子空间，解是不经过原点的平面或直线

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